67. Ťažké L´Hospitalovo pravidlo

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje ťažké L'Hospitalovo pravidlo pre prípad, keď limita funkcie g v bode a je plus nekonečno; o funkcii f sa nepredpokladá nič o limite. Ak existuje limita podielu derivácií f'/g' rovná sa L, potom existuje aj limita f/g a rovná sa L. Dôkaz sa robí len pre pravostrannú limitu a pre L = 0, pričom záporné L sa prevedie zmenou znamienka f a prípad L > 0 je analogický. Využíva sa definícia limity, Cauchyho veta o strednej hodnote na intervale [t, b] s pevným bodom b a úprava zlomku delením hodnotou g(t). Pomocou limít g(b)/g(t) → 0 a f(b)/g(t) → 0 sa nakoniec ukáže, že |f(t)/g(t)| < ε v dostatočne malom pravom okolí bodu a.

• - Ťažké L'Hospitalovo pravidlo: g má v bode a limitu +∞, o limite f sa nič nepredpokladá.
• - Ak lim f'/g' = L, tak lim f/g = L.
• - Stačí dokazovať pravostrannú limitu; ľavostranná je analogická.
• - Prípad L < 0 sa zmenou znamienka f prevedie na L > 0; dokazuje sa prípad L = 0.
• - Kľúčový nástroj je Cauchyho veta o strednej hodnote na intervale [t, b] s pevným b.
• - Zlomok (f(t) − f(b))/(g(t) − g(b)) sa upraví delením g(t) a využijú sa limity g(b)/g(t) → 0 a f(b)/g(t) → 0.
• - Delta sa volí ako minimum z troch podmienok (δ, δ₂, δ₃), čo vedie k odhadu |f/g| < ε.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.