25. Limita monotónnych ohraničených postupností

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára šiestu kapitolu o špeciálnych limitách krátkou zmienkou o jednostranných limitách: obojstranná limita existuje práve vtedy, keď sa rovnajú limity sprava aj zľava. Hlavnou témou je veta, že každá neklesajúca zhora ohraničená postupnosť je konvergentná a jej limita sa rovná supremu množiny jej členov. Dôkaz využíva obe vlastnosti suprema a definíciu limity pomocou epsilon. Veta sa potom aplikuje na rekurentne zadanú postupnosť a1 = √2, a(n+1) = √2^(an). Indukciou sa dokáže, že je rastúca a ohraničená číslom 2, takže má limitu A. Prechodom k limite v rekurencii vznikne rovnica A = √2^A s riešeniami 2 a 4. Keďže limita zachováva neostrú nerovnosť a všetky členy sú menšie ako 2, platí A ≤ 2, teda limita je 2.

• - Obojstranná limita existuje práve vtedy, keď sa rovnajú jednostranné limity sprava a zľava.
• - Neklesajúca a zhora ohraničená postupnosť je konvergentná a jej limita je supremum množiny jej členov.
• - Dôkaz vety využíva druhú vlastnosť suprema (existuje člen väčší ako S − ε), monotónnosť a prvú vlastnosť (S je horná hranica).
• - Analogickú vetu pre nerastúce a zdola ohraničené postupnosti majú študenti sformulovať a dokázať sami.
• - Postupnosť a1 = √2, a(n+1) = √2^(an) je rastúca a zhora ohraničená číslom 2, obe vlastnosti sa dokazujú matematickou indukciou.
• - Prechodom k limite v rekurentnom vzťahu vznikne rovnica A = √2^A, ktorá má len riešenia 2 a 4 (graf exponenciály je konvexný).
• - Limita zachováva len neostrú nerovnosť, preto z an < 2 plynie A ≤ 2 a výsledná limita je 2.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.