59. Konvexnosť a konkávnosť

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojmy konvexnej a konkávnej funkcie na intervale pomocou konvexných kombinácií bodov, teda výrazov px + qy s nezápornými koeficientmi so súčtom 1. Funkcia je konvexná, ak platí f(px+qy) ≤ p·f(x) + q·f(y), čo geometricky znamená, že úsečka spájajúca dva body grafu leží nad grafom; pri konkávnej funkcii je nerovnosť opačná a úsečka leží pod grafom. Ostrými nerovnosťami (pre kladné p, q a x ≠ y) sa definuje rýdzo konvexná a rýdzo konkávna funkcia. Z definície sa potom dokazuje, že |x| aj x² sú konvexné na R: pre absolútnu hodnotu pomocou trojuholníkovej nerovnosti, pre x² úpravou na nerovnosť pq(x − y)² ≥ 0.

• - Konvexná kombinácia bodov x, y má tvar px + qy, kde p, q ≥ 0 a p + q = 1.
• - Funkcia je konvexná na intervale, ak f(px+qy) ≤ p·f(x) + q·f(y); spojnica dvoch bodov grafu leží nad grafom.
• - Konkávna funkcia spĺňa opačnú nerovnosť (≥); spojnica bodov leží pod grafom.
• - Rýdzo konvexná a rýdzo konkávna funkcia majú ostré nerovnosti pre p, q > 0 a x ≠ y, takže graf nemá rovné úseky.
• - Funkcia |x| je konvexná na R, čo vyplýva z nerovnosti |a + b| ≤ |a| + |b|.
• - Funkcia x² je konvexná na R, lebo po úprave vychádza pq(x − y)² ≥ 0; rovnosť nastáva len pri p = 0, q = 0 alebo x = y.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.