02. Vlastnosti funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška začína podrobným príkladom na určenie predpisu zloženej funkcie f∘g z dvoch po častiach definovaných funkcií. Po načrtnutí grafov sa podľa znamienok hodnôt vnútornej funkcie g rozdelí definičný obor na štyri intervaly a zložená funkcia má na nich predpisy 2x+3, 3x+2, 8x−1 a 12x−4. Potom sa zavádza zúženie funkcie na podmnožinu jej definičného oboru, ilustrované sínusom zúženým na interval ⟨0, π⟩. Nakoniec sa definuje ohraničenosť funkcie na neprázdnej množine M cez ohraničenosť obrazu f(M). Príklady ukazujú, že funkcia 1/(1+x²) je ohraničená na celom R, kým funkcia 1/x nie je ohraničená na intervale (0,1).

• - Pri skladaní po častiach definovaných funkcií je vhodné najprv načrtnúť grafy a určiť intervaly podľa znamienok hodnôt vnútornej funkcie.
• - Zložená funkcia f∘g má v príklade štyri vetvy: 2x+3, 3x+2, 8x−1 a 12x−4, ktoré pokrývajú celé R.
• - Zúženie funkcie g na množinu M je funkcia f, kde M je podmnožina definičného oboru g a f(x)=g(x) pre každé x z M.
• - Zúženie sínusu na ⟨0, π⟩ už nie je periodické a využije sa pri definícii cyklometrických funkcií.
• - Funkcia je ohraničená na neprázdnej množine M, ak je ohraničený obraz f(M).
• - Funkcia 1/(1+x²) je ohraničená na R, lebo jej obor hodnôt je interval (0,1⟩.
• - Funkcia 1/x je ohraničená na uzavretom intervale ďaleko od nuly, ale nie na (0,1), pretože nadobúda ľubovoľne veľké hodnoty.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.