Matematická Analýza 1 - Vety o derivácií funkcií | Prednáška 12 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza deriváciu funkcie v bode ako limitu podielu diferencií a jej geometrickú interpretáciu pomocou dotyčnice, pričom ukazuje, že z existencie vlastnej derivácie vyplýva spojitosť funkcie v danom bode. Dokazuje sa pomocná charakterizácia diferencovateľnosti pomocou funkcie h, ktorá je spojitá v danom bode a spĺňa vzťah f(x) mínus f(a) rovná sa h(x) krát (x mínus a). Na jej základe sa odvodzujú vzorce pre deriváciu súčtu, rozdielu, súčinu a podielu dvoch funkcií, pričom derivácia súčinu sa počíta dvoma rôznymi spôsobmi. Formuluje sa a dokazuje veta o derivácii zloženej funkcie, teda reťazové pravidlo, a to prostredníctvom geometrickej predstavy postupného zväčšovania výchyliek aj formálnym dôkazom s pomocnými spojitými funkciami. Na záver sa načrtáva motivácia pre deriváciu inverznej funkcie vrátane výpočtu derivácie funkcie arkussínus.

• Definícia derivácie ako limity podielu diferencií
• Geometrická interpretácia derivácie a dotyčnice
• Derivácia implikuje spojitosť
• Charakterizácia diferencovateľnosti pomocnou funkciou
• Derivácia súčtu, rozdielu a súčinu funkcií
• Derivácia podielu funkcií
• Veta o derivácii zloženej funkcie (reťazové pravidlo)
• Motivácia pre deriváciu inverznej funkcie

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.