27. Definícia čísla e

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza Eulerovo číslo e ako spoločnú limitu dvoch postupností a_n = (1 + 1/n)^n a b_n = (1 + 1/n)^(n+1). Najprv sa pozoruje, že b_n je vždy ostro väčšie ako a_n. Pomocou Bernoulliho nerovnosti sa potom dokáže, že a_n je neklesajúca a b_n nerastúca. Z reťazca nerovností vychádza, že obe postupnosti sú ohraničené intervalom (2, 4), takže podľa vety o monotónnych ohraničených postupnostiach majú limity. Napokon sa b_n rozloží na súčin a_n a faktora (1 + 1/n), ktorého limita je 1, čím sa ukáže, že obe limity sú rovnaké.

• - Číslo e je spoločná limita postupností a_n = (1 + 1/n)^n a b_n = (1 + 1/n)^(n+1).
• - Platí a_n < b_n, pretože b_n obsahuje o jednu zátvorku väčšiu ako 1 navyše.
• - Postupnosť a_n je neklesajúca, čo sa dokáže úpravou nerovnosti a použitím Bernoulliho nerovnosti.
• - Postupnosť b_n je nerastúca, dôkaz používa Bernoulliho nerovnosť s inou voľbou x.
• - Z reťazca a_1 ≤ a_n < b_n ≤ b_1 vyplýva ohraničenosť oboch postupností intervalom (2, 4).
• - Podľa vety o monotónnych ohraničených postupnostiach obe limity existujú.
• - Rovnosť limít plynie z rozkladu b_n = a_n · (1 + 1/n), kde druhý činiteľ má limitu 1.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.