Matematická Analýza 1 - Limita postupnosti | Prednáška 9

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza vetu o do seba vložených uzavretých a ohraničených intervaloch, ktorých dĺžky sa blížia k nule, a dokazuje, že taká postupnosť intervalov má práve jeden spoločný bod. Na tomto základe sa formuluje a konštruktívnym dôkazom, opakovaným delením intervalu na polovicu, dokazuje Bolzano-Weierstrassova veta, podľa ktorej z každej ohraničenej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť. Zavádza sa pojem podpostupnosti ako výberu členov pôvodnej postupnosti so zachovaním poradia indexov. Na záver sa predstavuje alternatívna, takzvaná Heineho postupnostná definícia limity funkcie, podľa ktorej limita funkcie v bode zodpovedá tomu, že pre každú postupnosť argumentov konvergujúcu k danému bodu, bez toho aby ho nadobúdala, konverguje aj postupnosť funkčných hodnôt k limitnej hodnote. Dokazuje sa ekvivalencia tejto Heineho definície s pôvodnou Cauchyho epsilon-delta definíciou limity, začínajúc smerom od Cauchyho k Heineho opisu.

• Veta o do seba vložených intervaloch a existencia spoločného bodu
• Pojem podpostupnosti
• Bolzano-Weierstrassova veta o výbere konvergentnej podpostupnosti
• Konštruktívny dôkaz delením intervalu na polovicu
• Heineho postupnostná definícia limity funkcie
• Ekvivalencia Heineho a Cauchyho definície limity
• Dôkaz smeru: Cauchyho definícia implikuje Heineho definíciu

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.