34. Spojitosť funkcie v bode

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára kapitolu o spojitosti funkcie a zavádza jej definíciu v bode a pomocou epsilon-delta: funkcia f je spojitá v bode a z definičného oboru, ak pre každé ε>0 existuje δ>0 tak, že pre všetky x z definičného oboru z |x−a|<δ vyplýva |f(x)−f(a)|<ε. Na rozdiel od limity sa tu môže dosadiť aj x=a a bod a nemusí byť hromadným bodom definičného oboru. Zavádza sa pojem izolovaného bodu množiny, v ktorom je každá funkcia automaticky spojitá, a v hromadnom bode spojitosť znamená, že limita sa rovná hodnote f(a). Na príklade f(x)=x·sin(1/x) pre x≠0 a f(0)=0 sa spojitosť v nule dokazuje pomocou vety o súčine nulovej limity a ohraničenej funkcie.

• - Funkcia f je spojitá v bode a z definičného oboru, ak ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D(f): |x−a|<δ ⇒ |f(x)−f(a)|<ε.
• - Od limity sa spojitosť líši tým, že a musí patriť do definičného oboru, nemusí byť hromadným bodom a môže sa dosadiť x=a.
• - Bod a je izolovaným bodom množiny M, ak existuje jeho okolie, ktorého prienik s M je len {a}.
• - Každá funkcia je spojitá v každom izolovanom bode svojho definičného oboru.
• - V hromadnom bode je f spojitá práve vtedy, keď lim x→a f(x) = f(a).
• - Spojitú funkciu možno dosadiť do limity postupnosti: ak aₙ→b a f je spojitá v b, tak lim f(aₙ) = f(b).
• - Funkcia x·sin(1/x) doplnená hodnotou 0 v nule je spojitá v nule, lebo nula krát ohraničená funkcia má limitu nula.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.