21. Ďalšie využitie sendvičovej vety

Zhrnutie prednášky

Prednáška využíva sendvičovú vetu na dôkaz ďalších tvrdení o limitách. Najprv sa dokazuje lema o odstránení absolútnej hodnoty pri nulovej limite: ak limita |f(x)| v bode A je 0, tak aj limita f(x) je 0, pretože platí -|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. Opačná implikácia je zadaná ako úloha pre študentov. Hlavnou vetou je veta o nulovej limite krát ohraničenej funkcii: ak f má v bode A limitu 0 a g je ohraničená na okolí A, tak limita súčinu f(x)·g(x) je tiež 0. Dôkaz využíva odhad 0 ≤ |f·g| ≤ K·|f|, sendvičovú vetu a lemu. Veta sa ilustruje príkladom limity x·sin(1/x) v bode 0, ktorá je rovná 0, lebo funkcia oscyluje medzi grafmi y = x a y = -x.

• - Lema: ak lim |f(x)| = 0 pre x→A, tak aj lim f(x) = 0; dôkaz cez nerovnosť -|f| ≤ f ≤ |f| a sendvičovú vetu.
• - Opačná implikácia lemy (z lim f = 0 plynie lim |f| = 0) je úloha pre študentov.
• - Veta o nulovej limite krát ohraničenej funkcii: lim f = 0 a g ohraničená na okolí A ⟹ lim f·g = 0.
• - Dôkaz vety: 0 ≤ |f·g| ≤ K·|f|, sendvičová veta dá lim |f·g| = 0 a lema zruší absolútnu hodnotu.
• - Príklad: lim x·sin(1/x) = 0 pre x→0, pretože sin(1/x) je ohraničený a x má limitu 0.
• - Geometricky: graf x·sin(1/x) leží medzi priamkami y = x a y = -x, ktoré idú do 0.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.