46. Derivácia podielu

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje pravidlo pre deriváciu podielu v dvoch krokoch. Najprv sa dokazuje veta o derivácii prevrátenej hodnoty: ak má funkcia f v bode a deriváciu a f(a) ≠ 0, potom 1/f má v bode a deriváciu rovnú −f'(a)/f(a)². Dôkaz využíva, že z existencie derivácie vyplýva spojitosť, a zo spojitosti a nenulovej hodnoty existencia okolia, kde je f nenulová, takže 1/f je tam definovaná. Následne sa upraví limita diferenčného podielu na súčin limít. Druhá veta potom pomocou zápisu f/g = f · (1/g) a vety o derivácii súčinu dáva vzorec (f/g)'(a) = (f'(a)·g(a) − f(a)·g'(a)) / g(a)².

• - Derivácia podielu sa dokazuje v dvoch vetách: najprv prevrátená hodnota, potom podiel dvoch funkcií.
• - Ak f'(a) existuje a f(a) ≠ 0, potom (1/f)'(a) = −f'(a)/f(a)².
• - Existencia derivácie v bode implikuje spojitosť, a spojitosť s nenulovou hodnotou zaručuje nenulovosť f na okolí bodu a.
• - Pri dôkaze sa zlomky v čitateli odčítajú so spoločným menovateľom f(x)·f(a) a limita sa rozdelí na súčin limít.
• - Podiel f/g sa zapíše ako f · (1/g) a použije sa pravidlo o derivácii súčinu.
• - Výsledný vzorec: (f/g)'(a) = (f'(a)·g(a) − f(a)·g'(a)) / g(a)², za predpokladu g(a) ≠ 0.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.