19. Sendvičová veta

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje sendvičovú vetu (vetu o troch funkciách) a lemu, ktorá jej predchádza. Lema 2 hovorí, že limita zachováva neostrú nerovnosť: ak platí f ≤ g na prstencovom okolí bodu a a obe limity existujú, tak lim f ≤ lim g. Dokazuje sa sporom pomocou epsilon = (B − C)/10, kedy by sa nerovnosť medzi f a g musela porušiť. Sendvičová veta tvrdí, že ak f ≤ g ≤ h v okolí bodu a a funkcie f a h majú v a rovnakú limitu B, tak aj g má limitu B. Prednášajúci upozorňuje na častú chybu na skúške, pri ktorej sa lema použije dvakrát bez toho, aby bola známa existencia limity g. Správny dôkaz sa vedie cez definíciu limity pomocou epsilon a delta s minimom z delta pre f a h.

• - Lema 2: limita zachováva neostrú nerovnosť, ak obe limity existujú.
• - Dôkaz lemy sporom: pri B > C sa zvolí epsilon = (B − C)/10 a vznikne g(x) < f(x).
• - Sendvičová veta: z f ≤ g ≤ h a lim f = lim h = B vyplýva lim g = B.
• - Častá chyba na skúške: použiť lemu 2 na g bez znalosti, že limita g existuje.
• - Existencia limity g sa dokazuje cez epsilon-delta, kde delta je minimum z delta pre f a pre h.
• - Názov vety pochádza z obrázka: funkcia g je ako náplň medzi dvoma funkciami f a h.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.