49. Derivácie vyšších rádov

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza derivácie vyšších rádov, ktoré sa definujú rekurentne: ak má funkcia f^(n-1) deriváciu v bode a, jej hodnota je n-tou deriváciou f^(n)(a), pričom f^(0) = f. Vysvetľuje dve značenia, a to číslom v zátvorke a čiarkami (od štvrtej derivácie rímskymi číslicami). Na príklade sa počíta n-tá derivácia funkcií ln(1 − x) a ln(1 + x) na intervale (−1, 1). Po výpočte prvých derivácií sa sformuluje hypotéza a dokáže sa matematickou indukciou. Pre f vychádza f^(n)(x) = −(n−1)!·(1−x)^(−n) a pre g f^(n)(x) = (−1)^(n+1)·(n−1)!·(1+x)^(−n), pričom sa pri g striedajú znamienka.

• - Derivácie vyšších rádov sa definujú rekurentne, pričom f^(0) = f.
• - n-tá derivácia v bode a je derivácia funkcie f^(n-1) v bode a, ak existuje.
• - Značenie: číslo v zátvorke alebo čiarky, od štvrtej derivácie rímske číslice.
• - Pre f(x) = ln(1 − x) platí f^(n)(x) = −(n−1)!·(1 − x)^(−n) na intervale (−1, 1).
• - Pre g(x) = ln(1 + x) platí g^(n)(x) = (−1)^(n+1)·(n−1)!·(1 + x)^(−n), znamienka sa striedajú.
• - Postup: vypočítať prvé derivácie, sformulovať hypotézu a dokázať ju matematickou indukciou.
• - Pri derivovaní sa využíva pravidlo o derivácii zloženej funkcie a derivácia mocniny.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.