65. Príklady na Ľahké L´Hospitalovo pravidlo

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje na dvoch príkladoch použitie ľahkého L'Hospitalovho pravidla. V prvom príklade sa počíta limita (e^(x²) + 2cos x − 3) / ln(1 + x⁴) pre x→0, ktorá je typu 0/0. Pravidlo sa použije viackrát, pričom sa najprv vytiahnu konštanty a limita jednoduchého činiteľa mimo derivovaného podielu, aby sa derivovanie zjednodušilo. Výsledok je 7/12. Druhý príklad s funkciami f(x) = x² cos(1/x) a g(x) = x je protipríklad, ktorý ukazuje, že opačná implikácia neplatí: limita podielu f/g existuje a je 0, no limita podielu derivácií neexistuje, pretože člen sin(1/x) nemá limitu.

• - L'Hospitalovo pravidlo sa používa pri type 0/0, ak existuje limita podielu derivácií; inak treba zvoliť inú metódu.
• - Pred derivovaním je výhodné upraviť výraz: vytiahnuť konštanty a oddeliť činiteľ s konečnou limitou (1/(1+x⁴) → 1).
• - Pravidlo možno aplikovať opakovane, kým sa nedá dosadiť, a medzitým rozložiť limitu na súčet jednoduchších limít.
• - Pri derivovaní súčinu treba dať pozor na správne pravidlo (jednu funkciu derivovať, druhú odpísať); využíva sa aj limita sin x / x = 1.
• - Výsledok prvého príkladu je 7/12 (1/3 + 1/6 + 1/12).
• - Opačná implikácia L'Hospitalovho pravidla neplatí: z existencie limity f/g nevyplýva existencia limity f'/g'.
• - Protipríklad f(x) = x² cos(1/x), g(x) = x: limita f/g je 0 (nula krát ohraničená funkcia), ale f'(x)/g'(x) = 2x cos(1/x) + sin(1/x) limitu nemá.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.