16. Limita podielu

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje vetu o limite podielu: ak majú funkcie f a g v bode a vlastné limity b a c a c je nenulové, tak limita f/g je b/c. Dôkaz nepoužíva epsilon-delta argumentáciu, opiera sa o vetu o prevrátenej hodnote (limita 1/g je 1/c) a o vetu o súčine. Následne sa epsilon-delta definíciou ukáže, že limita funkcie f(x) = x v bode a je a (stačí zvoliť delta rovné epsilon). Nakoniec sa ako ukážka použitia algebraických viet vypočíta limita (3x² − 7x + 4)/(x³ − 1) pre x → 2, ktorej hodnota je 2/7. Overenie predpokladov (konečné limity, nenulový menovateľ) sa robí až po rozklade na jednotlivé limity.

• - Veta o limite podielu: lim f/g = (lim f)/(lim g), ak sú obe limity vlastné a limita g je nenulová.
• - Dôkaz využíva vetu o prevrátenej hodnote (1/g má limitu 1/c) a vetu o súčine f · (1/g).
• - Limita identickej funkcie f(x) = x v bode a je a; dôkaz z definície voľbou delta = epsilon.
• - Limita konštantnej funkcie sa rovná tejto konštante (príklad 1).
• - Pri výpočte limity sa výraz rozloží pomocou viet o súčte, rozdiele, násobku, súčine a podiele na limity funkcie x a konštánt.
• - Predpoklady viet (konečnosť limít, nenulový menovateľ) sa overia dodatočne po dosadení výsledkov.
• - Limita (3x² − 7x + 4)/(x³ − 1) pre x → 2 je 2/7.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.