33. Limes superior, limes inferior

Zhrnutie prednášky

Prednáška uzatvára kapitolu o limitách pojmami limes superior a limes inferior. Limes superior postupnosti je supremum a limes inferior infimum množiny všetkých jej hromadných hodnôt, pričom obe môžu byť aj nekonečné a existujú pre každú postupnosť, na rozdiel od limity. Dokazuje sa, že limes inferior (a analogicky superior) je sám hromadnou hodnotou postupnosti, s rozborom prípadov −∞, +∞ a reálneho čísla pomocou vlastností infima. Na záver veta 7 hovorí, že postupnosť má limitu práve vtedy, keď sa jej limes superior rovná limes inferior, a hodnota limity je potom ich spoločná hodnota.

• - Limes superior je supremum a limes inferior infimum množiny všetkých hromadných hodnôt postupnosti.
• - Obe veličiny existujú pre každú postupnosť (aj nekonečné), na rozdiel od limity.
• - Limes inferior postupnosti je sám jej hromadnou hodnotou; limes superior sa dokazuje analogicky (úloha 3).
• - Dôkaz pre reálne D využíva druhú vlastnosť infima: existuje hromadná hodnota v blízkosti D a v jej okolí leží nekonečne veľa členov.
• - Veta 7: postupnosť má limitu práve vtedy, keď sa limes superior rovná limes inferior.
• - Ak limita existuje, množina hromadných hodnôt má jediný prvok, ktorým je limita.
• - Ak sú limesy rovnaké, mimo okolia L leží len konečne veľa členov, čo je definícia limity.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.