04. Inverzná funkcia

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem inverznej funkcie: ku každej prostej funkcii f existuje funkcia g, ktorá hodnote u z oboru hodnôt priradí jediné t, pre ktoré platí u = f(t). Zdôrazňuje sa, že označenie f⁻¹ nemá nič spoločné s mocninou ani s prevrátenou hodnotou 1/f, čo ilustrujú príklady x³ a lineárnej funkcie, kde sú smernice navzájom prevrátené. Graf inverznej funkcie vzniká osovou súmernosťou grafu pôvodnej funkcie podľa priamky y = x. Následne sa dokazuje lema, že inverzná funkcia ku klesajúcej funkcii je klesajúca, pričom sa využíva ryzia monotónnosť, prostota a rozbor vzťahu čísel x a y. Na záver je zadaná úloha sformulovať a dokázať analogické tvrdenie pre rastúcu funkciu.

• - Inverzná funkcia existuje práve vtedy, keď je pôvodná funkcia prostá.
• - Definícia: g(u) = t práve vtedy, keď u = f(t), pričom g zobrazuje obor hodnôt f na množinu A.
• - Označenie f⁻¹ nie je mocnina ani 1/f; napríklad inverzná funkcia k x³ je tretia odmocnina z x.
• - Pri lineárnych funkciách sú smernice pôvodnej a inverznej funkcie navzájom prevrátené čísla.
• - Graf inverznej funkcie je súmerný s grafom pôvodnej funkcie podľa priamky y = x.
• - Lema: inverzná funkcia ku klesajúcej funkcii je klesajúca, pretože ryzo monotónna funkcia je prostá.
• - Úloha: sformulovať a dokázať analogickú lemu pre rastúcu funkciu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.