22. Limita súčtu pre nevlastné limity

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje vete o limite súčtu pre nevlastné limity. Ak funkcia f má v hromadnom bode a limitu plus nekonečno a funkcia g má v tom istom bode buď vlastnú limitu c, alebo tiež plus nekonečno, potom limita súčtu f + g je plus nekonečno. Dôkaz sa delí na dva prípady. Pri reálnom c sa pre g zvolí ε = 1, takže g(x) > c − 1, pre f sa zvolí k = M − c + 1 a ako δ sa vezme minimum z oboch delta, čím sa nerovnosti sčítaním dostanú na f(x) + g(x) > M. Pri c = +∞ sa použije L = 0 a K = M. Na záver lektor upozorňuje, že veta platí len pre nekonečná rovnakého typu, pretože súčet plus a mínus nekonečna je neurčitý výraz.

• - Ak lim f = +∞ a lim g je reálne číslo alebo +∞, tak lim (f + g) = +∞.
• - Dôkaz sa delí na dva prípady: c je reálne číslo a c = +∞.
• - Pre reálne c sa volí ε = 1, aby g(x) > c − 1, a k = M − c + 1 pre funkciu f.
• - Pre c = +∞ sa volí L = 0 pre g a K = M pre f, takže f(x) + g(x) > M.
• - Výsledné δ je minimum z δ_f a δ_g, vďaka čomu platia obe nerovnosti naraz a dajú sa sčítať.
• - Analogicky platí, že súčet dvoch limít −∞ dáva −∞.
• - Súčet +∞ a −∞ je neurčitý výraz: limita môže byť reálne číslo, ±∞ alebo nemusí existovať.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.