05. Príklad na inverznú funkciu

Zhrnutie prednášky

Príklad skúma funkciu f(x) = (x² − 1)/x² s definičným oborom všetkých reálnych čísel okrem nuly. Najprv sa ukáže, že f nie je prostá, pretože je párna a platí f(1) = f(−1) = 0. Zúžená funkcia g na intervale (−∞, 0) už prostá je, čo sa dokáže úpravou rovnosti g(x) = g(y) na súčin, v ktorom jeden činiteľ nemôže byť nulový, takže x = y. Inverzná funkcia sa nájde substitúciou t = x², riešením kvadratickej rovnice t² − ty − 1 = 0 a výberom jediného kladného koreňa. Výsledkom je g⁻¹(s) = −√((s + √(s² + 4))/2), čo je klesajúca funkcia so zápornými hodnotami, ktorej graf je súmerný s grafom g podľa priamky y = x.

• - Funkcia f(x) = (x² − 1)/x² nie je prostá, lebo je párna: f(1) = f(−1) = 0.
• - Zúženie g = f na (−∞, 0) je prostá funkcia.
• - Prostosť sa dokáže úpravou g(x) = g(y) na súčin (x² − y²)(1 + 1/(x²y²)) = 0, kde druhý činiteľ je vždy kladný.
• - Pre záporné x a y je súčet x + y nenulový, preto z rovnosti vyplýva x = y.
• - Inverzná funkcia sa hľadá substitúciou t = x² a riešením kvadratickej rovnice t² − ty − 1 = 0 s parametrom y.
• - Z dvoch koreňov vyhovuje len kladný a odmocnením so znamienkom x < 0 vychádza g⁻¹(s) = −√((s + √(s² + 4))/2).
• - Inverzná funkcia je klesajúca, definovaná pre všetky reálne s a jej graf je súmerný s grafom g podľa priamky y = x.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.