53. Rolleova veta

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Rolleovu vetu: ak je funkcia f spojitá na uzavretom intervale ⟨a,b⟩, má deriváciu v každom bode otvoreného intervalu (a,b) a platí f(a) = f(b), potom existuje bod c z (a,b), v ktorom je f'(c) = 0. Dôkaz využíva kompaktnosť intervalu, takže f nadobúda minimum aj maximum. Ak sú oba extrémy v krajných bodoch, funkcia je konštantná a derivácia je nulová všade. Inak je aspoň jeden extrém vnútri intervalu a podľa vety o lokálnom extréme je tam derivácia nulová. Príklad g(x) = x^(2/3) na ⟨-1,1⟩ je spojitá a g(-1) = g(1), no v bode 0 derivácia neexistuje (jednostranné limity sú +∞ a -∞), preto nemá nulovú deriváciu nikde a nejde o protipríklad.

• - Rolleova veta: spojitosť na ⟨a,b⟩, existencia derivácie v (a,b) a f(a) = f(b) zaručujú bod c s f'(c) = 0.
• - Dôkaz používa vetu o nadobúdaní minima a maxima spojitej funkcie na kompaktnej množine.
• - Prípad 1: minimum aj maximum v krajných bodoch znamená konštantnú funkciu s nulovou deriváciou všade.
• - Prípad 2: extrém vo vnútri intervalu, kde podľa vety o lokálnom extréme je derivácia nulová.
• - Príklad g(x) = x^(2/3) na ⟨-1,1⟄ je spojitá s g(-1) = g(1) = 1, ale nemá nulovú deriváciu.
• - V bode 0 derivácia neexistuje, pretože limita 1/x^(1/3) je sprava +∞ a zľava -∞.
• - Splnenie všetkých troch predpokladov je nutné, preto príklad nie je protipríkladom vety.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.