52. Lokálne extrémy

Zhrnutie prednášky

Prednáška definuje lokálne maximum a lokálne minimum funkcie ako bod, v ktorého okolí je hodnota funkcie najväčšia, resp. najmenšia, a lokálny extrém ako ich spoločný pojem. Následne dokazuje nutnú podmienku existencie lokálneho extrému: ak má funkcia v bode lokálny extrém a existuje tam derivácia, táto derivácia je nulová. Dôkaz rozkladá deriváciu na limity sprava a zľava, z ktorých vychádzajú nerovnosti ≤ 0 a ≥ 0, a teda derivácia je 0. Na príklade f(x) = x²·e^(−x) sa hľadajú podozrivé body riešením f′(x) = 0, čím vzniknú body 0 a 2. Bod 0 je globálne minimum, bod 2 lokálne maximum, čo sa zatiaľ len načrtáva, keďže chýbajú vety o monotónnosti.

• - Lokálne maximum (minimum): v nejakom okolí bodu je hodnota funkcie v tomto bode najväčšia (najmenšia).
• - Lokálny extrém je lokálne maximum alebo lokálne minimum.
• - Ak má funkcia v bode lokálny extrém a existuje tam derivácia, potom je táto derivácia rovná 0.
• - Dôkaz využíva jednostranné limity podielu (f(x) − f(a))/(x − a): sprava vychádza ≤ 0, zľava ≥ 0, teda 0.
• - Pre f(x) = x²·e^(−x) je f′(x) = e^(−x)·x·(2 − x), takže podozrivé body sú 0 a 2.
• - Bod 0 je globálne minimum, lebo f je nezáporná a f(0) = 0; bod 2 je lokálne maximum, čo bude dokázané neskôr.
• - Nulová derivácia je len nutná podmienka, nie postačujúca; na určenie typu extrému treba vety o monotónnosti.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.