63. Motivácia l´Hospitalovho pravidla

Zhrnutie prednášky

Prednáška motivuje l'Hospitalovo pravidlo na troch príkladoch limít typu 0/0, ktoré sú vizualizované v GeoGebre. Pri podiele dvoch priamok je limita rovná pomeru ich smerníc a diferencovateľná funkcia sa pri dostatočnom priblížení správa ako jej dotyčnica v danom bode. Preto možno limitu podielu funkcií, ktoré sú v bode nula, nahradiť podielom ich derivácií, čo sa ukazuje na limite ln(√(1+x))/sin x s výsledkom 1/2. Pri limite (1 − cos x)/x² sa po prvom derivovaní opäť získa typ 0/0, takže sa derivuje druhýkrát a výsledok je opäť 1/2. Dôkaz pravidla bude predmetom ďalších prednášok.

• - Limita podielu dvoch priamok sa rovná pomeru ich smerníc.
• - Diferencovateľná funkcia sa v okolí bodu správa ako jej dotyčnica, preto limitu podielu určuje pomer smerníc dotyčníc.
• - Limitu typu 0/0 možno počítať ako limitu podielu derivácií čitateľa a menovateľa.
• - Príklad ln(√(1+x))/sin x pre x→0 dáva po zderivovaní výsledok 1/2.
• - Pri (1 − cos x)/x² vznikne po prvom derivovaní (sin x)/(2x) opäť typ 0/0, preto sa derivuje druhýkrát a výsledok je 1/2.
• - Postup sa môže opakovať, kým sa nedá dosadiť do limity.
• - Samotný dôkaz l'Hospitalovho pravidla príde na nasledujúcich prednáškach.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.