30. Príklady špeciálnych limít

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši dva príklady špeciálnych limít. V prvom sa dokazuje, že limita n^K / (1+α)^n je pre pevné prirodzené K a kladné reálne α rovná nule, teda exponenciálna funkcia rastie rýchlejšie ako polynomická. Využíva sa binomická veta: pre n ≥ K+1 sa výraz (1+α)^n zdola odhadne (K+1)-vým členom rozvoja, ktorý je polynómom stupňa K+1 v premennej n, a podiel polynómov s vyšším stupňom v menovateli sa potom pomocou vety o zovretí (sendvičovej vety) blíži k nule. V druhom príklade sa dokazuje, že limita n·(e^(1/n) − 1) je rovná 1; využíva sa definícia čísla e ako limity dvoch monotónnych postupností, ich úprava odmocnením, odčítaním jednotky a násobením n a opäť veta o zovretí. Na záver je zadaná úloha dokázať analogické limity s n+1.

• - Limita n^K/(1+α)^n pre n→∞ je 0 pre ľubovoľné pevné K∈ℕ a α>0.
• - Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 rastie rýchlejšie ako ľubovoľný polynóm.
• - Binomická veta pre n ≥ K+1 dáva odhad (1+α)^n ≥ C(n, K+1)·α^(K+1), pričom C(n, K+1) je polynóm stupňa K+1 v n.
• - Podiel polynómov s vyšším stupňom v menovateli má limitu 0; záver plynie zo sendvičovej vety.
• - Limita n·(e^(1/n) − 1) sa rovná 1; dôkaz využíva definíciu e cez dve monotónne postupnosti (1+1/n)^n a (1+1/(n−1))^n.
• - Po odmocnení, odčítaní jednotky a vynásobení n vzniká nerovnosť 1 ≤ n·(e^(1/n) − 1) ≤ n/(n−1), z ktorej sa limita 1 dostane vetou o zovretí.
• - Úloha pre študentov: dokázať, že limity (n+1)·(e^(1/n) − 1) a n·(e^(1/(n+1)) − 1) sú tiež rovné 1.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.