68. Príklady na Ťažké L´Hospitalovo pravidlo

Zhrnutie prednášky

Prednáška uzatvára 10. kapitolu dvoma príkladmi na ťažké L'Hospitalovo pravidlo (typ ∞/∞). V prvom sa počíta limita podielu tan 3x a tan x pre x → π/2; po jeho aplikácii vznikne typ 0/0, na ktorý sa ešte dvakrát použije obyčajné L'Hospitalovo pravidlo, a výsledok je 1/3. V druhom príklade sa pre limitu e^(−1/x²)/x² pre x → 0 ukáže, že priame derivovanie výraz len zhoršuje, preto sa použije substitúcia t = 1/x² a limita t/eᵗ pre t → ∞ vychádza 0. Napokon sa výsledok zovšeobecní na párne aj nepárne mocniny x pomocou sandwichovej vety: exponenciála e^(−1/x²) prevýši akýkoľvek polynóm v menovateli, čo sa využije v 11. kapitole pri Taylorových polynómoch.

• - Limita tan 3x / tan x pre x → π/2 je typu ∞/∞ a vychádza 1/3.
• - Po prvom použití pravidla vznikne typ 0/0, preto sa pravidlo použije ešte dvakrát obyčajné.
• - L'Hospitalovo pravidlo nemusí limitu zjednodušiť; pri e^(−1/x²)/x² ju zhoršuje, lebo rastie mocnina v menovateli.
• - Substitúcia t = 1/x² zmení limitu na t/eᵗ pre t → ∞, kde ťažké L'Hospitalovo pravidlo dáva 0.
• - Pre párne mocniny x²ⁿ vychádza limita e^(−1/x²)/x²ⁿ rovná 0 po niekoľkých použitiach pravidla.
• - Pre nepárne mocniny sa limita dokáže sandwichovou vetou a symetriou (nepárna funkcia), takže je opäť 0.
• - Funkcia e^(−1/x²) v nule klesá rýchlejšie než ľubovoľný polynóm; využije sa pri Taylorových polynómoch.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.