06. Hromadný bod

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára kapitolu o limite zavedením rozšírenej množiny reálnych čísel R*, ktorá obsahuje reálne čísla a symboly +∞ a −∞. Následne definuje okolie bodu: pre reálne číslo a je to interval (a−r, a+r), pre +∞ interval (K, +∞) a pre −∞ interval (−∞, H). Hlavnou definíciou je hromadný bod množiny M: bod A z R* je hromadným bodom, ak každé jeho okolie obsahuje aspoň jeden bod množiny M rôzny od A. Ekvivalentne to znamená, že každé okolie obsahuje nekonečne veľa bodov množiny M, čo sa ukáže postupným zmenšovaním okolí. Ako príklad sa sporom dokazuje, že konečná množina reálnych čísel nemá žiadny hromadný bod, pričom sa rozoberajú tri prípady: +∞, −∞ a reálne číslo.

• - Rozšírená množina reálnych čísel R* = R ∪ {+∞, −∞}.
• - Okolie reálneho čísla a je interval (a−r, a+r) s polomerom r > 0.
• - Okolie +∞ je interval (K, +∞) a okolie −∞ je interval (−∞, H), kde K, H sú ľubovoľné reálne čísla.
• - Bod A z R* je hromadným bodom množiny M, ak každé okolie A obsahuje bod z M rôzny od A.
• - Ekvivalentne: každé okolie hromadného bodu obsahuje nekonečne veľa bodov množiny M.
• - Nie každá množina má hromadný bod; konečná množina reálnych čísel ho nemá.
• - Dôkaz sporom: pre +∞ a −∞ sa použije okolie za maximom či minimom, pre reálne číslo okolie s polomerom pod minimálnou kladnou vzdialenosťou k prvkom množiny.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.