31. Dôležitá limita

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje druhú dôležitú limitu: limita (e^x − 1)/x pre x idúce do 0 sa rovná 1, pričom táto hodnota platí iba pre základ e. Dôkaz najprv rieši pravostrannú limitu tak, že kladné x uzavrie medzi zlomky 1/(n+1) a 1/n a pomocou rastúcosti exponenciály odvodí rozhodujúcu nerovnosť. Z limít krajných výrazov pre n idúce do nekonečna sa potom epsilon-delta postupom ukáže, že aj stredný výraz má limitu 1. Ľavostranná limita sa prevedie substitúciou t = −x na pravostrannú. Ako aplikáciu veta využíva v príklade, kde sa substitúciou t = ln(1 + x) odvodí, že limita ln(1 + x)/x pre x idúce do 0 je 1.

• - Veta: limita (e^x − 1)/x pre x → 0 je rovná 1.
• - Hodnota 1 platí iba pre základ e, pri inom základe vychádza iná limita.
• - Pravostranná limita sa dokazuje cez rozhodujúcu nerovnosť s využitím zlomkov 1/(n+1) a 1/n a rastúcosti exponenciály.
• - Epsilon-delta argument v štýle sandwichovej vety prenáša limity pre n → ∞ na limitu pre x → 0+.
• - Ľavostranná limita sa získa substitúciou t = −x a úpravou e^(−t) = 1/e^t.
• - Príklad: limita ln(1 + x)/x pre x → 0 je 1, odvodená substitúciou t = ln(1 + x) a vetou o limite zloženej funkcie.
• - Výsledok limity logaritmu je 1 len pre prirodzený logaritmus, pre dvojkový či desiatkový vychádza iná hodnota.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.