20. Čarovanie z obrázka

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje dôležitú limitu sin x / x pre x idúce do nuly geometrickou úvahou z obrázka jednotkovej štvrťkružnice a pomocou vety o zvieraní (sandwichovej vety). Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov sa ukáže, že dĺžka úsečky B1 je tangens x. Porovnaním obsahov trojuholníka OPA, kruhového výseku s uhlom x a trojuholníka O1B vznikne nerovnosť sin x·cos x ≤ x ≤ sin x / cos x pre x z intervalu (0, π/2). Úpravou sa získa cos x ≤ sin x / x ≤ 1/cos x a z parity všetkých troch funkcií platí nerovnosť aj na (−π/2, 0). Keďže cos x aj 1/cos x majú v nule limitu 1, z vety o zvieraní vyplýva, že limita sin x / x je 1.

• - Na jednotkovej štvrťkružnici platí OP = cos x, AP = sin x a z podobnosti trojuholníkov |B1| = tg x.
• - Tangens nie je definovaný v π/2, lebo vtedy by boli polpriamky rovnobežné.
• - Obsahy: trojuholník OPA ≤ kruhový výsek ≤ trojuholník O1B, teda sin x·cos x / 2 ≤ x / 2 ≤ tg x / 2.
• - Obsah kruhového výseku jednotkovej kružnice so stredovým uhlom α je α/2.
• - Úpravou vznikne cos x ≤ sin x / x ≤ 1/cos x pre x z (0, π/2).
• - Všetky tri funkcie sú párne, takže nerovnosť platí aj na (−π/2, 0), teda na okolí nuly bez nuly.
• - Limity cos x a 1/cos x v nule sú 1, preto podľa vety o zvieraní lim sin x / x = 1 pre x → 0.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.