17. Skutočný príklad na výpočet limity

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši typický príklad na výpočet limity racionálnej funkcie (3x² − 7x + 4)/(x³ − 1) pre x blížiace sa k 1. Priame dosadenie ani veta o podiele limít tu nefungujú, pretože limita menovateľa je nulová. Funkcia nie je v bode 1 definovaná, no jednotka je hromadným bodom jej definičného oboru ℝ \ {1}, takže limitu počítať možno. Čitateľ aj menovateľ sa rozložia na súčin s koreňovým činiteľom (x − 1), ktorý sa vykráti. Upravená funkcia sa líši od pôvodnej iba hodnotou v bode 1, preto majú rovnakú limitu. Po dosadení do vykráteného výrazu vychádza limita −1/3.

• - Ak je limita menovateľa nulová, veta o podiele limít sa nedá použiť a priame dosadenie nefunguje.
• - Limitu možno počítať, ak je bod hromadným bodom definičného oboru, aj keď v ňom funkcia nie je definovaná.
• - Čitateľ aj menovateľ sa rozložia na súčin koreňových činiteľov: 3x² − 7x + 4 = (x − 1)(3x − 4) a x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).
• - Spoločný činiteľ (x − 1) sa vykráti, pretože x sa k 1 len blíži a nikdy sa jej nerovná.
• - Funkcie f a g (po vykrátení) sa líšia len v bode 1, preto majú rovnakú limitu v tomto bode.
• - Po vykrátení sa hodnota limity získa dosadením: (3·1 − 4)/(1 + 1 + 1) = −1/3.
• - Pri limitách podielu polynómov sa v praxi často kráti spoločný výraz.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.