26. Otázka financií

Zhrnutie prednášky

Prednáška motivuje zavedenie Eulerovho čísla príkladom bánk na pomyselnej ulici, ktoré ponúkajú 100 % ročný úrok s rôznou frekvenciou pripisovania. Pri ročnom, polročnom, štvrťročnom, mesačnom či dennom úročení vychádzajú hodnoty (1 + 1/n)^n postupne 2; 2,25; 2,37; 2,44; 2,61; 2,7145 a pre n = 10 000 približne 2,718, pričom rast sa spomaľuje. Vzniká otázka, či postupnosť (1 + 1/n)^n má konečnú limitu, pričom naivný výpočet s limitou 1 je chybný. Na jej určenie sa dokazuje Bernoulliho nerovnosť (1 + x)^n ≥ 1 + nx pre x > −1 a prirodzené n, ktorá vyjadruje, že zložený úrok je vždy aspoň taký ako jednoduchý. Dôkaz prebieha matematickou indukciou a samotná limita sa určí v nasledujúcom videu.

• - Motivácia: banky na Ženevskej ulici úročia 100 % ročne s rôznou frekvenciou pripisovania úroku.
• - Hodnoty (1 + 1/n)^n rastú: 2; 2,25; 2,37; 2,44; 2,61; 2,7145; pre n = 10 000 približne 2,718.
• - Otázka: má postupnosť (1 + 1/n)^n konečnú limitu, alebo sa zisk dá zvyšovať bez obmedzenia?
• - Chybná úvaha, že limita je 1 (lebo 1/n → 0 a 1^n = 1), je nesprávna, pretože ide o neurčitý výraz.
• - Bernoulliho nerovnosť: (1 + x)^n ≥ 1 + nx pre x > −1 a n prirodzené; zložený úrok je aspoň taký ako jednoduchý.
• - Dôkaz indukciou: vynásobením indukčného predpokladu kladným číslom 1 + x a vypustením nezáporného člena nx².
• - Pomocou tejto lemy sa v ďalšom videu dokáže existencia limity.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.