14. Limita násobku a rozdielu

Zhrnutie prednášky

Prednáška pokračuje v budovaní aritmetiky limít funkcií o vety o limite násobku a limite rozdielu. Veta 3 hovorí, že ak má funkcia f vo vlastnom hromadnom bode a definičného oboru vlastnú limitu b, tak funkcia k·f má v tomto bode limitu k·b. Dôkaz nepoužíva epsilon-delta, ale využíva konštantnú funkciu g(x) = k, ktorej limita je k, a vetu o limite súčinu. Veta 4 tvrdí, že ak majú f a g v bode a vlastné limity b a c, pričom a je hromadným bodom prieniku ich definičných oborov, tak limita rozdielu f − g je b − c. Dôkaz zapíše rozdiel ako súčet f + (−g), pomocou vety 3 pre k = −1 určí limitu −g a následne použije vetu o limite súčtu. Podiel limít sa preberie neskôr, lebo je najťažší.

• - Limita násobku je násobok limity: lim k·f(x) = k·b, ak lim f(x) = b.
• - Bod a musí byť hromadným bodom definičného oboru funkcie, nemusí v ňom byť funkcia definovaná.
• - Dôkaz vety o násobku používa konštantnú funkciu g(x) = k a vetu o limite súčinu, bez epsilon-delta.
• - Limita rozdielu je rozdiel limít: lim (f − g) = b − c, ak obe vlastné limity existujú.
• - Bod a musí byť hromadným bodom prieniku definičných oborov D(f) ∩ D(g).
• - Dôkaz vety o rozdiele: f − g = f + (−1)·g, použije sa veta 3 (k = −1) a veta o súčte limít.
• - Limita podielu sa dokazuje neskôr, lebo je najťažšia z aritmetických operácií.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.