24. Nula a nekonečno

Zhrnutie prednášky

Záver kapitoly o vetách o limitách tvoria dve vety o vzťahu nuly a nekonečna. Veta 14 hovorí, že ak má funkcia v bode a nevlastnú limitu plus nekonečno, jej prevrátená hodnota 1/f má v tom bode limitu 0; dôkaz využíva voľbu K = 1/ε a prevrátenie nerovnosti f(x) > K na 1/f(x) < ε. Veta 15 tvrdí opačné: ak má funkcia f limitu 0 a v okolí bodu a (okrem samotného bodu) je kladná, tak 1/f má limitu plus nekonečno. Dôkaz volí ε = 1/K, pričom stačí uvažovať len kladné K. Kladnosť funkcie je podstatná: pri zápornej funkcii vychádza mínus nekonečno a pri funkcii meniacej znamienko limita neexistuje.

• - Veta 14: ak lim f = +∞, tak lim 1/f = 0 (symbolicky 1/∞ = 0).
• - Dôkaz vety 14: pre ε > 0 sa zvolí K = 1/ε a nerovnosť f(x) > K sa prevráti na 1/f(x) < ε.
• - Veta 15: ak lim f = 0 a f je v okolí bodu a kladná, tak lim 1/f = +∞ (1/+0 = +∞).
• - Dôkaz vety 15: stačí uvažovať kladné K, zvolí sa ε = 1/K a využije sa kladnosť f pri prevrátení nerovnosti.
• - Kladnosť f je nevyhnutná: pri zápornej f je limita −∞, pri meniacej znamienko limita neexistuje.
• - Úloha 3: sformulovať a dokázať analógiu vety 15 pre 1/(−0) = −∞.
• - Úloha 4: nájsť príklad, že vo všeobecnosti neplatí 1/0 = ∞.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.