64. Ľahké l´Hospitalovo pravidlo

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje ľahké l'Hospitalovo pravidlo pre limity typu 0/0. Ak sú funkcie f a g diferencovateľné na prstencovom okolí bodu a, g' je tam nenulová, obe majú v bode a limitu 0 a existuje limita podielu derivácií f'/g' rovná L, potom existuje aj limita f/g a rovná sa L. Opačná implikácia neplatí, čo sa ukáže neskôr protipríkladom. Dôkaz najprv dodefinuje f(a) = g(a) = 0, čím sa funkcie stanú spojitými v bode a. Potom pre limitu sprava použije Cauchyho vetu o strednej hodnote na intervale [a, t], kde podiel f(t)/g(t) rovná f'(s)/g'(s) pre vhodné s, a tým odhadne rozdiel od L číslom epsilon. Limita zľava sa dokáže analogicky.

• - Ľahké l'Hospitalovo pravidlo sa týka limít typu 0/0 a má jednoduchý dôkaz.
• - Ak existuje limita f'/g' rovná L, existuje aj limita f/g a rovná sa L.
• - Opačná implikácia neplatí, protipríklad bude neskôr.
• - Funkcie sa v bode a dodefinujú nulou, takže sú v ňom spojité.
• - Dôkaz využíva Cauchyho vetu o strednej hodnote na intervale [a, t].
• - Z rovnosti f(t)/g(t) = f'(s)/g'(s) a voľby delty vyplýva odhad menší ako epsilon.
• - Jednostranná limita zľava sa dokáže analogicky ako sprava.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.