08. Definícia limity

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza všeobecnú definíciu limity funkcie pomocou okolí: pre každé okolie bodu B existuje okolie bodu A (bez samotného A) tak, že hodnoty funkcie pre x z definičného oboru ležia v okolí B. Bod A musí byť hromadným bodom definičného oboru, no nemusí v ňom ležať; A aj B môžu byť aj nekonečné, čím vzniká vlastná a nevlastná limita. Následne sa definícia konkretizuje na limitu postupnosti, kde je jediným hromadným bodom prirodzených čísel plus nekonečno, a to pre konvergenciu a divergenciu do plus aj mínus nekonečna. Na príklade sa podľa definície dokazuje, že limita postupnosti (n² − 2n)/(n² + 1) je 1: výraz sa upraví na (2n + 1)/(n² + 1) < ε, doplní sa na štvorec a n₀ sa nájde pomocou Archimedovej axiómy.

• - Všeobecná definícia limity: ∀ okolie B ∃ okolie A (bez bodu A) tak, že hodnoty f(x) ležia v okolí B.
• - Bod A musí byť hromadným bodom definičného oboru, ale nemusí do neho patriť.
• - Limita je vlastná, ak B je reálne číslo, a nevlastná, ak B je plus alebo mínus nekonečno.
• - Postupnosť je funkcia definovaná na prirodzených číslach, preto má zmysel len limita pre n idúce do plus nekonečna.
• - Konvergencia: ∀ε>0 ∃n₀ ∀n>n₀ platí |aₙ − b| < ε; divergencia do ±∞ sa definuje pomocou okolí (K, +∞) alebo (−∞, K).
• - Postup dôkazu z definície: zvoliť ε, upraviť nerovnosť, vyjadriť n a určiť n₀.
• - Existenciu vhodného n₀ zaručuje Archimedova axióma o neohraničenosti prirodzených čísel.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.