35. Spojitosť a aritmetické operácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje vetu o zachovaní spojitosti pri aritmetických operáciách. Ak sú funkcie f a g spojité v bode a, ktorý patrí do prieniku ich definičných oborov, potom sú v tomto bode spojité aj funkcie k·f, f + g, f − g a f·g. Podiel f/g je spojitý v bode a za dodatočného predpokladu g(a) ≠ 0. Dôkaz rozlišuje dva prípady: ak je a izolovaným bodom definičného oboru, funkcia je v ňom spojitá automaticky, a ak je hromadným bodom, využijú sa vety o limitách násobku, súčtu, rozdielu, súčinu a podielu spolu s definíciou spojitosti, podľa ktorej limita funkcie v bode a sa rovná jej hodnote v bode a.

• - Spojitosť v bode a sa zachováva pri násobku konštantou, súčte, rozdiele a súčine spojitých funkcií.
• - Podiel f/g je spojitý v bode a, ak sú f aj g spojité v a a navyše g(a) ≠ 0.
• - Definičný obor podielu tvoria len tie body prieniku definičných oborov, v ktorých je g nenulová.
• - V izolovanom bode definičného oboru je funkcia spojitá vždy.
• - V hromadnom bode sa dôkaz opiera o vety o limitách pri aritmetických operáciách.
• - Spojitosť funkcií f a g v bode a zaručuje, že lim f(x) = f(a) a lim g(x) = g(a), čo umožňuje použiť vetu o limite podielu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.