12. Mohutnosť množín

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem mohutnosti množín porovnávaním pomocou prostých zobrazení, podobne ako pri delení cukríkov či sadaní ľudí na štadióne. Konečná množina je definovaná existenciou prostého zobrazenia do množiny {1, …, m}, nekonečná je každá iná a spočítateľná je nekonečná množina, ktorú možno prosto zobraziť do prirodzených čísel. Na príklade Hilbertovho hotela Infinity sa ukazuje, že nekonečná množina môže mať podmnožinu rovnakej mohutnosti, a dokazuje sa spočítateľnosť množín celých a racionálnych čísel (diagonálne prechádzanie tabuľky zlomkov). Na záver sa začína sporový dôkaz, že interval (0,1) je nespočítateľný, teda existujú rôzne nekonečná.

• - Mohutnosť množín sa porovnáva prostým zobrazením (princíp „mne jeden, tebe jeden“).
• - Množina je konečná, ak existuje prosté zobrazenie do {1, …, m}; inak je nekonečná.
• - Nekonečná množina je spočítateľná, ak sa dá prosto zobraziť do prirodzených čísel.
• - Hotel Infinity ukazuje, že nekonečná množina môže mať rovnakú mohutnosť ako svoja vlastná podmnožina (napr. N a párne čísla).
• - Množiny Z a Q sú spočítateľné; Q sa usporiada do postupnosti prechodom po diagonálach tabuľky zlomkov.
• - Nespočítateľná množina je nekonečná a nie je spočítateľná; interval (0,1) je nespočítateľný, čo sa dokazuje sporom.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.