43. Derivácia funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza derivácie funkcie ako tretí ťažiskový pojem matematickej analýzy popri limite a spojitosti. Motivuje ju geometricky: smernice sečníc grafu funkcie prechádzajúcich bodmi A a X sa pri približovaní X k A blížia k smernici dotyčnice, ktorá je deriváciou. Formálne je derivácia v bode A konečná limita podielu (f(x) − f(a)) / (x − a) pre x idúce do a, pričom funkcia musí byť definovaná na okolí bodu. Uvedené sú rôzne značenia derivácie. Na príkladoch sa ukazuje, že derivácia funkcie e^x v bode 2 je e², a vo všeobecnosti v bode a je e^a, zatiaľ čo absolútna hodnota nemá deriváciu v nule, lebo jednostranné limity sú 1 a −1.

• - Derivácia je tretí ťažiskový pojem analýzy popri limite a spojitosti; vo fyzike je rýchlosť derivácia polohy.
• - Geometrický význam: derivácia v bode je smernica dotyčnice ako limita smerníc sečníc.
• - Definícia: f'(a) = lim_{x→a} (f(x) − f(a)) / (x − a), ak je táto limita konečná; funkcia musí byť definovaná na okolí bodu a.
• - Značenia derivácie: f'(a), bodka nad symbolom (derivácia podľa času vo fyzike) a podiel diferenciálov df/dx.
• - Derivácia e^x v bode a je e^a, čo sa dokáže substitúciou t = x − a a známou limitou (e^t − 1)/t → 1.
• - Funkcia |x| nemá deriváciu v nule, pretože jednostranné limity podielu sú 1 sprava a −1 zľava.
• - Obojstranná limita existuje len vtedy, ak existujú obe jednostranné limity a sú si rovné.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.