61. Konvexnosť a derivácia

Zhrnutie prednášky

Prednáška uvádza vetu o postačujúcej podmienke rýdzej konvexnosti: ak je funkcia spojitá na intervale I a jej druhá derivácia je v každom vnútornom bode kladná, je na I rýdzo konvexná. Dôkaz využíva, že kladná druhá derivácia znamená rastúcu prvú deriváciu, a na tri body x < s < y aplikuje Lagrangeovu vetu o strednej hodnote na intervaloch (x, s) a (s, y). Z nerovnosti smerníc sečníc vyplýva podmienka z lemy 1, a teda rýdza konvexnosť. Ako úlohu dostanú študenti sformulovať analogickú vetu pre konkávnosť, pričom s neostrými nerovnosťami platia obdobné tvrdenia pre (nie nutne rýdzu) konvexnosť. V príklade sa pomocou druhých derivácií dokazuje konvexnosť funkcií x·ln x na (0, ∞), x^(2n) na ℝ a e^x na ℝ.

• - Ak je f spojitá na I a f'' > 0 vo vnútorných bodoch, f je rýdzo konvexná na I (postačujúca podmienka).
• - Kladná druhá derivácia znamená, že prvá derivácia je rastúca.
• - Dôkaz používa Lagrangeovu vetu na intervaloch (x, s) a (s, y) a podmienku z lemy 1 o smerniciach sečníc.
• - Pre neostré nerovnosti (f'' ≥ 0) vyplýva obyčajná konvexnosť; analogicky platí veta pre konkávnosť.
• - Funkcia x·ln x má f'' = 1/x > 0, preto je konvexná na (0, ∞).
• - Funkcia x^(2n) má g'' = 2n(2n−1)x^(2n−2) ≥ 0, preto je konvexná na ℝ.
• - Funkcia e^x má všetky derivácie rovné e^x > 0, preto je konvexná na ℝ.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.