03. Monotónnosť funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza monotónne funkcie na množine B, ktorá je podmnožinou definičného oboru. Definuje štyri typy monotónnosti: neklesajúcu, nerastúcu, rastúcu a klesajúcu funkciu. Funkcia s jednou z týchto vlastností je monotónna, ak má jednu z posledných dvoch (rastúca, klesajúca), je rýdzo monotónna. Ďalej sa definuje prostá (injektívna) funkcia, jej ekvivalentná obmenená podoba vhodná na dokazovanie a geometrický význam: každá rovnobežka s osou x pretne graf najviac raz. Lema 1 dokazuje sporom, že každá rýdzo monotónna funkcia je prostá, a poznámka 2 uvádza, že samotná monotónna funkcia prostá byť nemusí.

• - Funkcia je neklesajúca na B, ak z x < y vyplýva f(x) ≤ f(y); nerastúca, ak z x < y vyplýva f(x) ≥ f(y).
• - Funkcia je rastúca na B, ak z x < y vyplýva f(x) < f(y); klesajúca, ak z x < y vyplýva f(x) > f(y).
• - Funkcia s niektorou zo štyroch vlastností je monotónna; rastúca alebo klesajúca funkcia je rýdzo monotónna.
• - Prostá (injektívna) funkcia: z f(x) = f(y) vyplýva x = y; ekvivalentne z x ≠ y vyplýva f(x) ≠ f(y).
• - Geometricky prostá funkcia znamená, že každá rovnobežka s osou x pretína graf najviac raz.
• - Lema 1: každá rýdzo monotónna funkcia je prostá (dôkaz sporom cez prípady x < y a x > y).
• - Monotónna funkcia (napr. neklesajúca s konštantným úsekom) prostá byť nemusí.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.