72. Rádovo menšie funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem rádovo menšej funkcie v okolí bodu a (reálneho alebo nekonečného). Funkcia f je rádovo menšia ako g, ak limita f(x)/g(x) pri x → a je rovná nule; množina takýchto funkcií sa značí o(g) a zapisuje sa f = o(g), čo je zaužívaný, hoci nie celkom logický zápis. Napríklad sin x = x + o(x²) a presnejšie sin x = x − x³/6 + o(x³). Veta 1 o Taylorovom polynóme sa v tomto zápise vyjadruje ako f(x) = T_n(x) + o((x−a)ⁿ) pre n-krát diferencovateľnú funkciu f, čo je základ pre Maclaurinove polynómy. Na záver je úloha dokázať pravidlá pre počítanie s o-čkami: súčet, zmenu exponentu, mocninu, násobenie mocninou x a súčin funkcií.

• - Funkcia f je rádovo menšia ako g pri x → a, ak lim f(x)/g(x) = 0; trieda takýchto funkcií sa značí o(g).
• - Zaužívaný zápis f = o(g) nie je veľmi logický, ale používa sa; zápis f = g + o(h) znamená, že f − g je rádovo menšie ako h.
• - Rádovo menšie sa týka veľkosti hodnôt: x³ je pri nule rádovo menšie ako x², hoci má vyššiu mocninu.
• - Príklady: sin x = x + o(x²) a sin x = x − x³/6 + o(x³).
• - Podľa vety 1 platí f(x) = Taylorov polynóm n-tého stupňa + o((x−a)ⁿ) pre n-krát diferencovateľnú funkciu f.
• - Úloha: dokázať pravidlá o(xⁿ) + o(xⁿ) = o(xⁿ), o(xⁿ) = o(xᵐ) pre n > m, (o(xⁿ))^k = o(x^(nk)), x^k·o(xⁿ) = o(x^(n+k)) a o(xⁿ)·o(xᵐ) = o(x^(n+m)).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.