07. Príklady na hromadné body

Zhrnutie prednášky

Prednáška precvičuje pojem hromadného bodu množiny na troch príkladoch. V prvom sa dokazuje, že ak neprázdna zhora ohraničená množina M ⊂ ℝ neobsahuje svoje supremum, potom je supremum hromadným bodom M. Dôkaz využíva obe vlastnosti suprema: pre každé ε > 0 existuje prvok m ∈ M, pre ktorý platí α − ε < m ≤ α, a keďže α ∉ M, ide o prvok rôzny od α. V druhom príklade sa pre množinu M = {1/m + 1/k; m, k ∈ ℕ} ukazuje, že 1 je hromadný bod (prvky 1/(1 + 1/k) ležia v každom okolí jednotky), no 3/4 hromadný bod nie je, pretože okolie (0,7; 0,8) neobsahuje okrem 3/4 žiaden iný prvok množiny; dôkaz prebieha rozborom prípadov podľa hodnôt m a k. Na záver sú zadané domáce úlohy: formulovať analogické tvrdenie pre infimum, nájsť všetky hromadné body danej množiny a dokázať, že jediným hromadným bodom ℕ je +∞.

• - Hromadný bod množiny M: každé jeho okolie bez samotného bodu má s M neprázdny prienik.
• - Ak supremum neprázdnej zhora ohraničenej množiny M nepatrí do M, je hromadným bodom M.
• - Dôkaz využíva druhú vlastnosť suprema (existuje m > α − ε) a prvú vlastnosť (m ≤ α).
• - Pre M = {1/m + 1/k} je 1 hromadný bod, lebo prvky 1/(1 + 1/k) sa k nemu približujú pre veľké k.
• - Dôkaz, že 3/4 nie je hromadný bod, sa robí negáciou definície: stačí nájsť okolie (0,7; 0,8) bez iných prvkov M.
• - Pri dôkaze sa rozoberajú prípady: m alebo k rovné 1, obe aspoň 3, jedno z nich rovné 2 (s odhadom pre k ≥ 5).
• - Množina hromadných bodov sa značí M′; úlohy: analógia pre infimum, všetky hromadné body množiny z príkladu 3 a dôkaz, že jediný hromadný bod ℕ je +∞.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.