44. Derivácia a spojitosť

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje, že ak má funkcia v bode deriváciu, je v tomto bode spojitá. Dôkaz využíva vynásobenie výrazu f(x) − f(a) jednotkou (x − a)/(x − a) a vetu o limite súčinu: prvá limita je derivácia f′(a), druhá je nula, takže limita f(x) − f(a) je nula. Opačná implikácia neplatí, čo ilustruje absolútna hodnota, ktorá je spojitá v nule, ale nemá tam deriváciu. Ako dobrovoľná úloha sa kladie otázka, či existuje funkcia spojitá na celom R, ktorá nemá deriváciu v žiadnom bode. Na záver sa začína séria viet o súvislosti derivácie s aritmetickými operáciami a dokazuje sa derivácia súčtu: (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a).

• - Existencia derivácie v bode implikuje spojitosť v tomto bode.
• - Dôkaz: násobenie jednotkou (x − a)/(x − a) a veta o limite súčinu dávajú lim (f(x) − f(a)) = 0.
• - Opačná implikácia neplatí: |x| je spojitá v 0, ale nemá tam deriváciu.
• - Otvorená otázka: existuje funkcia spojitá na R bez derivácie v ktoromkoľvek bode?
• - Derivácia súčtu: ak existujú f′(a) a g′(a), tak (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a).
• - Dôkaz derivácie súčtu sa opiera o rozdelenie podielu diferencií na dva zlomky a vetu o limite súčtu.
• - Nasledovať budú vety o derivácii súčinu, rozdielu a podielu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.