13. Limita súčinu

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje vetu o limite súčinu: ak majú funkcie f a g v bode a vlastné limity b a c, tak ich súčin f·g má v bode a vlastnú limitu b·c. Dôkaz sa vedie priamo z ε-δ definícií limít. Kľúčovým trikom je pripočítanie a odpočítanie nuly, teda člena b·g(x), vďaka čomu sa rozdiel f(x)g(x) − bc rozloží na |g(x)|·|f(x) − b| + |b|·|g(x) − c|. Na ohraničenie |g(x)| a |b| sa využíva veta o lokálnej ohraničenosti funkcie s limitou, takže existuje konštanta M. Delta sa volí ako minimum z δ_f, δ_g a polomeru okolia r, pričom pre f a g sa používa ε/(2M), takže celkový odhad vyjde menší ako ε. Dôkaz je urobený pre reálne a; prípad nevlastného bodu sa ponecháva ako cvičenie.

• - Veta: limita súčinu funkcií je súčin ich limít, lim f·g = b·c.
• - Dôkaz vychádza z ε-δ definícií limít f a g a z cieľového výroku pre súčin.
• - Kľúčový trik: pripočítanie nuly (−b·g(x) + b·g(x)) a trojuholníková nerovnosť.
• - Výraz sa rozloží na |g(x)|·|f(x) − b| + |b|·|g(x) − c|.
• - Ohraničenosť g a čísla b konštantou M v okolí bodu a plynie z vety o ohraničenosti funkcie s vlastnou limitou.
• - Delta sa volí ako min(δ_f, δ_g, r) a ε sa v definíciách delí 2M, aby súčet odhadov dal ε.
• - Dôkaz platí pre reálne a; prípad a = ±∞ je ponechaný študentom.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.