Pravdepodobnosť

PRAVDEPODOBNOSŤ

Definícia: Priestor elementárnych javov

Ω sa nazýva pravdepodobnostný priestor (Ω, A, P) (s

pravdepodobnosťou P), ak každému

ω

i

∈ Ω je priradené číslo P(ω

i), ktoré nazývame

pravdepodobnosťou elementárneho javu

ω

i. Požadujeme pritom, aby boli splnené axiómy:

(1)

0

≤ P(ω

i)

≤ 1

(2)

( )

(

) 1

i

i

P

P

ω

ω

∈Ω

Ω =

=

∑

Definícia: Pravdepodobnosťou P(A) ľubovoľného javu A nazývame súčet pravdepodobností
elementárnych javov, ktoré sú prvkami javu A, teda platí:

(1)

( )

(

)

i

i

A

P A

P

ω

ω

∈

=

∑

(2)

P(A)

≥ 0

(3)

Pravdepodobnosť zhednotenia konečného (resp. spočítateľného) počru

navzájom nezlučiteľných javov je rovná súčtu ich pravdepodobností, teda platí:
P(A1

∪ A

2

∪ A

3

∪ A

4

∪ ... ∪ A

n

∪ ...) = P(A

1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ... + P(An) + ...

Vlastnosti pravdepodobnosti:

(1)

Nech A, B sú náhodné javy. Ak A

⊆ B, potom platí: P(A) ≤ P(B).

(2)

Nech A, B sú náhodné javy. Ak A = B, potom platí P(A) = P(B).

(3)

Nech A je náhodný jav. Potom platí: 0

≤ P(A) ≤ 1.

(4)

Nech A, B sú náhodné javy. Potom platí: P(A – B) = P(A) – P(A

∩ B).

(5)

Nech A, B sú ľubovoľné dva náhodné javy. Potom platí:
P(A

∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Podmienená pravdepodobnosť

Ak pri výpočte pravdepodobnosti P(A) nepožadujeme žiadne dodatočné podmienky alebo
obmedzenia, tak takúto pravdepodobnosť P(A) budeme nazývať nepodmienená. Ak
potrebujeme nájsť pravdepodobnosť javu A pri dodatočnej podmienke, že nastal jav nejaký B,
tak takúto pravdepodobnosť budeme nazývať podmienená a označíme ju P(A

|B).

Odvodíme vzťah pre výpočet podmienenej pravdepodobnosti, pričom použijeme definíciu
klasickej pravdepodobnosti. Nech celkový počet rovnako pravdepodobných elementárnych
javov

ω

1

, ...,

ω

n je n, t.j. 

Ω= n. Nech pre priaznivé javy platí: A= m

A, B= mB a A

∩ B=

mA∩B. Platí, že mA∩B ≤ mA a mA∩B ≤ mB. Ak nastal jav B, potom museli nastať niektoré
z elementárnych javov

ω

j, ktoré sú priaznivé javu B. Pri tejto podmienke bude zodpovedať

javu A práve mA∩B priaznivých javov ωj, ktoré sú priaznivé javu A ∩ B. Preto musí platiť:

(

)

( / )

( )

A B

A B

B

B

m

m

P A

B

n

P A B

m

m

P B

n

∩

∩

∩

=

=

=

.

Ak jav B je nemožným javom, potom P(B) = 0 a uvedený vzťah nemá zmysel. Z toho potom
dostávame vzťah, ktorý nazývame pravidlo o násobení pravdepodobnosti.

P(A

∩ B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(A|B)

Pravdepodobnosť prieniku dvoch javov je rovná súčinu pravdepodobnosti jedného javu
a podmienenej pravdepodobnosti druhého javu za predpokladu, že nastal prvý jav.

Nezávislosť javov

Definícia: Javy A a B nazývame nezávislé, ak platí rovnosť: P(A

∩ B) = P(A).P(B).

Z uvedenej definície priamo vyplýva, že ak javy A a B sú nezávislé, tak platí rovnosť
P(A

|B) = P(A).

Vzorec pre úplnú pravdepodobnosť

Nech H1, H2, ... , Hn sú navzájom nezlučiteľné javy, t.j. Hi

∩ H

j =

∅ pre i ≠ j, čiže P(H

i

∩ H

j)

= 0, pre i

≠ j. Predpokladajme, že jav A sa môže realizovať aspoň s jedným z navzájom

nezlučiteľných javov H1, H2, ... , Hn, t.j.

1

(

)

n

i

i

A

A

H

=

=

∩

∪

.

Javy A

∩ H

i a A

∩ H

j, pre i

≠ j sú navzájom nezlučiteľné a preto platí:

1

( )

(

)

n

i

i

P A

P A

H

=

=

∩

∑

,

A odtiaľ použitím pravidla o násobení pravdepodobnosti dostávame vzťah pre výpočet úplnej
pravdepodobnosti:

1

( )

(

)

( /

)

n

i

i

i

P A

P H

P A H

=

=

⋅

∑

.

Bayesov vzorec (r. 1763)

Nech H1, H2, ... , Hn sú navzájom nezlučiteľné javy. Predpokladajme, že jav A sa môže
realizovať aspoň s jedným z navzájom nezlučiteľných javov H1, H2, ... , Hn, t.j.

1

(

)

n

i

i

A

A

H

=

=

∩

∪

.

Nech i

∈ {1, 2, ... ,n}. Chceme nájsť pravdepodobnosť javu H

i za predpokladu, že nastal jav

A. Podľa pravidla o násobení pravdepodobností platí:

P(A

∩ B) = P(H

i).P(A

|H

i) = P(A).P(Hi

|A),

Odtiaľ pre dané i dostávame:

(

)

( /

)

(

/ )

( )

i

i

i

P H

P A H

P H

A

P A

⋅

=

.

Geometrická pravdepodobnosť

Ak priestor elementárnych javov môžeme zvoliť ako body vhodného geometrického útvaru,
ktorého veľkosť (plochu, objem ...) dokážeme vypočítať (resp. určiť), tak pravdepodobnosť

počítame podľa vzťahu:

( )

( )

( )

A

P A

µ

µ

=

Ω

, pričom javy A sú podmnožiny tohto útvaru

s rovnakými vlastnosťami. Teória miery zavádza pojem merateľnej množiny. (Napr.
Borelovské množiny). V úlohách musí byť splnený predpoklad symetrie, ktorý zaručuje, že
pravdepodobnosť toho, že náhodne zvolený bod z

Ω padne do množiny A, závisí iba na

veľkosti tejto množiny a nie na jeho umiestnení (tvare a pod. ).

Pravdepodobnosť opakovaných nezávislých pokusov

Dva náhodné pokusy sa nazývajú navzájom nezávislé, ak výsledok jedného z nich nemá
vplyv na výsledok druhého z nich. Ak vykonáme n nezávislých pokusov, pričom pri každom
pokuse nastane práve jeden z k nezlučiteľných javov A1, A2, ... , Ak s pravdepodobnosťami:
p1 = P(A1), p2 = P(A2), ... , pk = P(Ak). Ak označíme symbolom Pn(m1, m2, ... , mk)
pravdepodobnosť toho, že pri n pokusoch nastal jav A1 m1 – krát, jav A2 m2 – krát, .... , jav Ak
mk – krát, tak potom platí vzťah:

1

2

2

1

2

1

2

!

(

,

,...,

)

...

!

! ...

!

k

m

m

m

n

k

k

k

n

P m m

m

p

p

p

m m

m

=

⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

.

Špeciálne pre k = 2 dostávame vzťah, ktorý nazývame Bernoulliho schéma. Nech p= p1 a q =
p2 = 1 – p, nech m = m1 a n – m = m2. Potom dostávame vzťah:

!

( )

! (

)!

m

n m

n

n

P m

p

q

m

n m

−

=

⋅

⋅

⋅ −

.

Z Bernouliho vzorca sa ľahko odvodia ďalšie vzťahy, ktoré sú jeho priamym dôsledkom.
Pravdepodobnosť toho, že jav A nastal pri n nezávislých pokusoch aspoň m-krát, je daný
vzťahom:

1

0

( )

( )

1

( )

n

m

n

n

n

k m

k

R m

P k

P k

−

=

=

=

= −

∑

∑

.

Pravdepodobnosť, že jav A nastane pri n nezávislých pokusoch aspoň raz je rovná:

(1) 1

n

n

R

q

= − .

Môžeme sa pýtať aj opačne. Koľko nezávislých pokusov musíme vykonať, aby sme
s pravdepodobnosťou aspoň P mohli tvrdiť, že daný jav A nastane aspoň raz. Počet pokusov n
odvodíme z predchádzajúceho vzťahu a dostávame ohraničenie:

ln(1

)

ln(1

)

P

n

p

−

≥

−

,

kde p je pravdepodobnosť výskytu javu A v každom z pokusov.

Najpravdepodobnejšia hodnota počtu výskytov javu A je hodnote nP, ktorá je rovná celej časti
čísla (n + 1).p (t.j. nP =

[(n + 1).p]). Ak je číslo (n + 1).p celé, potom pravdepodobnosť

nadobúda svoju najväčšiu hodnotu pre hodnoty: nP = (n + 1).p–1 a nP = (n + 1).p.

Ak sú pokusy nezávislé, ale pravdepodobnosti výskytu javu A sú rôzne, potom
pravdepodobnosť Pn(m) m-násobného výskytu javu A pri n pokusoch je rovná koeficientu pri
člene u

m v rozvoji vytvárajúcej funkcie G(u).

0

1

( )

(

)

( )

n

n

m

k

k

n

m

k

G u

p u

q

P m u

=

=

=

⋅ +

=

⋅

∑

∏

,

kde qk = 1 – pk a pk je pravdepodobnosť toho, s akou nastane jav A v k-tom pokuse.
Koeficienty Pn(m) môžeme určiť derivovaním funkcie G(u):

0

1

d

( )

( )

!

d

m

n

m

u

G u

P m

m

u

=





=

⋅ 







.

Špeciálne pre m = 0 dostávame: Pn(0) = q1.q2. ... .qn.