Náhodná veličina

Náhodná veličina

Jav, ktorý za určitých podmienok v závislosti na náhode môže, ale nemusí

nastať, sa nazýva náhodný jav. Samotná realizácia podmienok, za ktorých tento jav
môže nastať, sa nazýva náhodný pokus. Ak je náhodný jav výsledkom náhodného
pokusu, ktorý je opakovateľný, nazýva sa hromadný náhodný jav. Javy tohto druhu sú
predmetom skúmania teórie pravdepodobnosti. Možnosť výskytu hromadného
náhodného javu A sa charakterizuje číslom P(A), ktoré nazývame pravdepodobnosťou
javu A. Pravdepodobnosť je číslo, nadobúdajúce hodnoty z intervalu 〈0, 1〉. Ak je jav
A javom nemožným, je P(A) = 0, ak je jav A javom istým, je P(A) = 1. Možnosť
výskytu javu A je potom tým väčšia, čím je jeho pravdepodobnosť bližšie k 1.
Povedali sme, že číslo P(A) udáva pravdepodobnosť, že náhodný jav A za určitých
podmienok nastane. K týmto základným podmienkam pripájame niekedy ešte ďalšiu
podmienku, že totiž nastal jav B. Zaujíma nás potom pravdepodobnosť javu A za
podmienky, že nastal jav B.

Takáto pravdepodobnosť sa nazýva podmienená pravdepodobnosť javu

A a označuje sa P(A|B). S ohľadom na to sa potom pravdepodobnosť P(A) často
nazýva nepodmienená pravdepodobnosť javu A. Ak je pravdepodobnosť javu A rôzna
podľa toho, či jav B nastal, či nenastal, nazývame javy A, B závislé. Pokiaľ sa
pravdepodobnosť javu A nemení v závislosti na tom, či jav B nastal či nenastal,
nazývajú sa javy A, B nezávislé.

Výsledok náhodného pokusu môžeme niekedy popísať len slovne. Niekedy

však sú možnými výsledkami náhodného pokusu hodnoty nejakej veličiny. Veličinu,
ktorá pri náhodnom pokuse môže závisle na náhode nadobúdať rôzne hodnoty,
nazývame náhodná veličina. Za náhodnú veličinu môžeme považovať napr. „počet
bodiek, ktorý padne pri jednom vrhu hracej kocky“. Táto veličina nadobúda závisle na
náhode hodnoty 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zákon rozdelenia náhodnej veličiny X je zákon, ktorý
udáva pravdepodobnosti javov, ktoré môžu nastať.

Náhodnou veličinou alebo náhodnou premennou sa nazýva premenná, ktorá vo

výsledku pokusu môže nadobudnúť niektorú hodnotu, pričom je vopred neznáme akú
konkrétnu.

P (X = x)

Náhodné premenné, ktoré môžu nadobudnúť iba jednotlivé, navzájom rôzne

hodnoty, ktoré možno vopred vymenovať, nazývajú sa nespojitými, alebo diskrétnymi
náhodnými premennými.
Napr.: počet zásahov pri troch výstreloch

počet telefonických hovorov prichádzajúcich na telefónnu linku

Náhodné premenné, ktoré nie sú navzájom oddelené, ale spojite vyplňujú určitý

interval, sa nazývajú spojitými náhodnými premennými.
Napr.: chyba meracieho prístroja

Náhodné premenné teda delíme na dva základné typy:

Diskrétne:

ak náhodná premenná nadobúda konkrétnu hodnotu, pričom počet
týchto hodnôt je konečný alebo spočítateľný.
Náhodná premenná X nadobúda hodnoty x1, x2, x3, ... , xn. Ak hodnoty
xi a k ním zodpovedajúce pravdepodobnosti pi usporiadame do tabuľky,
tak táto tabuľka s podmienkou

1

1

n

i

i

p

=

=

∑

je zákonom rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej
premennej a voláme ju pravdepodobnostná tabuľka.

Spojité:

ak náhodná premenná nadobúda všetky hodnoty z uzavretého alebo
otvoreného intervalu reálnych čísel.

Pri spojitej náhodnej premennej nemôžme vymenovať všetky hodnoty
a k

ním

určiť

všetky

pravdepodobnosti

(t.

j.

vytvoriť

pravdepodobnostnú tabuľku), lebo ich je na reálnom intervale
nespočítateľne veľa, preto tento vzťah popíšeme pomocou funkcie,
ktorú nazývame hustota.

Aby sme mohli popísať náhodnú premennú musíme poznať:
1.

Množinu všetkých hodnôt, ktoré náhodná premenná nadobúda – obor hodnôt
náhodnej premennej.

2.

Pravdepodobnosť pri ktorej môže náhodná premenná nadobudnúť svoju
hodnotu.

Ak náhodná premenná bude úplne opísaná z pravdepodobnostného hľadiska, a ak

zadáme toto rozdelenie, t.j. presne ukážeme, akú pravdepodobnosť má každý z javov,
určíme tým tzv. zákon rozdelenia náhodnej premennej. Zákon rozdelenia náhodnej
premennej je každý predpis, ktorý určuje vzťah možnými hodnotami náhodnej
premennej a im zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Najjednoduchšou formou
zadania tohto zákona je tabuľka, v ktorej sú uvedené možné hodnoty náhodnej
premennej a im zodpovedajúce pravdepodobnosti. Takúto tabuľku nazývame
pravdepodobnostnou tabuľkou.

Príklad:
Vykoná sa jeden pokus, v ktorom sa môže objaviť alebo neobjaviť jav A.
Pravdepodobnosť javu A je 0,3. Vyšetruje sa náhodná premenná X – počet objavení
javu A v danom pokuse. Premenná X má iba dve hodnoty: 0 a 1. Pravdepodobnostná
tabuľka premennej X má tvar:

xi

0

1

pi

0,7

0,3

Distribučná funkcia

Pravdepodobnostná tabuľka vyjadruje zákon rozdelenia pravdepodobnosti

diskrétnej náhodnej premennej. Pre spojitú náhodnú premennú takúto tabuľku
nevieme zostrojiť. Spojitá náhodná premenná nadobúda nespočítateľne veľa hodnôt.
Pravdepodobnosť toho, že spojitá náhodná veličina nadobudne určitú konkrétnu
číselnú hodnotu je veľmi blízka nule. Budeme uvažovať pravdepodobnosť javu, že
náhodná premenná X nadobudne hodnoty menšie ako zadaná hodnota x. Táto
pravdepodobnosť P(X

< x ) je závislá na x. Túto funkciu označujeme F(x) a voláme ju

„Distribučnou funkciou“.

Je definovaná vzťahom:

F(x) = P( X

< x )

Distribučná funkcia je všeobecnou formou popisu náhodnej premennej a dá sa

použiť ako pre diskrétnu tak aj pre spojitú náhodnú premennú.

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. Distribučná funkcia F(x) je neklesajúcou funkciou svojho argumentu, t.j. pri

x2

> x

1 je F(x2) ≥ F(x1).

2. V bode mínus nekonečno sa hodnota funkcie rovná nule:

F (

− ∞ ) = 0

3. V bode plus nekonečno sa distribučná hodnota rovná jednej:

F (

+ ∞ ) = 1

Hodnota distribučnej funkcie F(x) sa nazýva aj integrálnou funkciou rozdelenia,

alebo integrálnym zákonom rozdelenia. Distribučná funkcia je najuniverzálnejšou
charakteristikou náhodnej premennej, ktorá existuje pre všetky náhodné premenné
a to diskrétne aj spojité.

Stredná hodnota náhodnej premennej

Strednou hodnotou náhodnej premennej je určité číslo, ktoré ako keby bolo jej

reprezentantom a ktoré ju pri približne orientovaných výpočtoch nahradzuje.
Parametre polohy charakterizujú „polohu“ náhodnej premennej na číselnej osi a jej
„koncentráciu“.

Matematické vyčíslenie strednej hodnoty náhodne premennej:

1

1

2

2

1

2

( )

n

n

n

x p

x

p

x

p

E X

p

p

p

⋅ + ⋅

+ + ⋅

=

+

+

⋯

⋯

1

1

( )

n

i

i

i

n

i

i

x p

E X

p

=

=

⋅

=

∑

∑

Strednou hodnotou

diskrétnej náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých

možných hodnôt náhodnej premennej s pravdepodobnosťami týchto hodnôt.

Platí:

1

1

n

i

i

p

=

=

∑

1

( )

n

i

i

i

E X

x p

=

=

⋅

∑

:

x

( )

(

x)=

i

i

i

x x

F x

P X

p

<

=

<

∑

pi – pravdepodobnosť pokusu

Stredná hodnota

spojitej náhodnej premennej je definovaná vzťahom

( )

( ) dx

E X

x f x

∞

−∞

=

⋅

∫

Diskrétne (nespojité) náhodné veličiny sú veličiny, ktoré nadobúdajú iba konečné

alebo spočitateľné množstvo rôznych hodnôt, napr. hodnôt x = 0, 1, 2, ... . Ich zákon

rozdelenia je popísaný pravdepodobnosťami jednotlivých hodnôt pa = P(x = xa)

a zobrazený na obrázku:

Obrázok: Graf rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej

nadobúdajúcej hodnoty x1, ..., x6.

Spojité náhodné veličiny sú veličiny, ktoré môžu nadobúdať v rámci určitého

intervalu všetky možné hodnoty. Sú to veličiny, ktoré majú tzv. spojitý zákon

rozdelenia, ktorý je popísaný hustotou pravdepodobnosti f(x) ≥ 0, ktorej integráciou

na uzavretom intervale 〈a, b〉 dostaneme pravdepodobnosť, že náhodná veličina bude

z intervalu 〈a, b〉:

(

)

( ) dx

b

a

P a

X

b

f x

≤ ≤ =

∫

.

Ak je hustota pravdepodobnosti f(x) spojitá, potom f(x) dx vyjadruje pravdepodobnosť

toho, že náhodná veličina X bude z intervalu 〈x, x + dx〉. Hustota pravdepodobnosti

spojitej náhodnej veličiny je zobrazená na obrázku:

x1

x2

x3 x4 x5 x6

x

P(X = xi)

Obrázok: Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Vyšrafovaná plocha zodpovedá pravdepodobnosti

P

{a ≤ x ≤ b}.

Distribučná funkcia F(xb) náhodnej veličiny X je funkcia, ktorá udáva pre každé xb

pravdepodobnosť P( x < xb).

Distribučnú funkciu diskrétnej náhodnej veličiny vypočítame:

:

x

( )

(

x)=

i

i

i

x x

F x

P X

p

<

=

<

∑

(pi = P(x = xi), –

∞ < x < +∞).

Distribučnú funkciu spojitej náhodnej veličiny vypočítame:

( )

( ) d

x

F x

f t

t

−∞

=

∫

.

Potom pre spojité náhodné veličiny platí:

( )

( )

( )

dF x

f x

F x

dx

′

=

=

.

Distribučné funkcie náhodných veličín sú znázornené na nasledovných obrázkoch:

Obrázok: Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej, ktorá nadobúda

hodnoty x1, ..., x5

Obrázok: Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej

Charakteristikou polohy rozdelenia náhodnej veličiny je jej

Stredná hodnota E(X),

ktorá je definovaná pre nespojité (diskrétne) náhodné veličiny nasledovne:

1

( )

n

i

i

i

E X

x p

=

=

⋅

∑

Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny x je definovaná:

( )

( ) dx

E X

x f x

∞

−∞

=

⋅

∫

,

kde f(x) je hustota pravdepodobnosti.

Stredná hodnota vyjadruje priemernú veľkosť (centrálnu tendenciu, stred, ťažisko,

polohu) hodnôt príslušnej náhodnej veličiny a značíme ju tiež M(x), alebo

µ. Pre

všetky typy náhodných veličín možno strednú hodnotu vyjadriť jednotne,

Stieltjesovým integrálom:

( )

d ( )

E X

x F x

∞

−∞

=

∫

,

kde F(x) je distribučná funkcia.

Rozptyl (disperzia, variancia) D(x) - predstavuje priemerný štvorec odchýlky od

priemeru

. Značíme ho tiež D

2(x), V(x), alebo

σ

x

2 a pre diskrétnu, resp. spojitú

náhodnú veličinu je definovaný vzťahmi:

2

2

2

1

1

( )

(

( ))

( ( ))

n

n

i

i

i

i

i

i

D X

X

E X

p

X

p

E X

=

=

=

−

⋅ =

⋅ −

∑

∑

,

kde E(X) je stredná hodnota náhodnej veličiny X, resp. pre spojitú:

2

2

2

( )

(

( ))

( ) d

( ) d

( ( ))

i

i

D X

X

E X

f x

x

X

f x

x

E X

∞

∞

−∞

−∞

=

−

⋅

=

⋅

−

∫

∫

.

Smerodajná odchýlka (štandardná, stredná kvadratická odchýlka) je druhou

odmocninou rozptylu, je charakteristikou variability náhodnej veličiny a označujeme

ju symbolom

σ(X). Je odmocninou rozptylu, ktorý označujeme D(X) a je definovaná

vzťahom:

( )

( )

X

D X

σ

=

.

Variačný koeficient vypočítame zo vzťahu:

( )

( )

( )

D X

C X

E X

=

.

Šikmosť vypočítame ako:

3

1

3

3

1

(

( ))

n

i

i

X

E X

n

γ

σ

=

⋅

−

=

∑

.

Špicatosť (štatistický exces) vypočítame ako:

4

1

4

4

1

(

( ))

3

n

i

i

X

E X

n

γ

σ

=

⋅

−

=

−

∑

.

Medián

x

ɶ je hodnota, pre ktorú platí P( x < xɶ ) = 0,5. Je to hodnota prostredného

člena z radu členov súboru usporiadaných podľa veľkosti. Ak je počet členov párny,

je to priemer dvojice prostredných členov.

P-kvantil xp je hodnota, pre ktorú P( x < xp ) = P.

Modus diskrétnej, resp. spojitej náhodnej veličiny je hodnota s maximálnou

pravdepodobnosťou, resp. hustotou pravdepodobnosti. Modus je tá hodnota nezávislej

premennej X, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie.

Pre lineárnu funkciu ax + b náhodnej veličiny x sú stredná hodnota a rozptyl

vyjadrené nasledovnými vzťahmi:

(

)

( )

E ax b

aE x

b

+ =

+ ,

2

(

)

( )

D ax b

a D x

+ =

.

Strednú hodnotu a rozptyl všeobecnej funkcie g(x) približne vypočítame podľa

vzťahov:

( ( ))

( ( ))

E g x

g E x

≈

[

]2

( ( ))

( ( ))

( )

D g x

g E x

D x

′

=

.

kde g´ = dg/dx, pričom musí platiť podmienka, že g´(x) je v okolí E(x) približne

konštantné, povedzme pre

( )

3

( )

x

E x

D x

−

⋅

≺

.

Normálne rozdelenie

Normovaným normálnym rozdelením nazývame normálne rozdelenie, ktoré má

strednú hodnotu rovnú 0 a rozptyl 1.

Hustota normálneho rozdelenia

ϕ(x) a distribučná funkcia φ(x) sú vyjadrené

vzťahmi:

2

2

1

( )

2

x

x

e

ϕ

π

−

=

⋅

,

2

2

1

( )

d

2

x

t

x

e

t

π

−

−∞

Φ

=

⋅

∫

.

Pričom platia vzťahy

ϕ(–x) = ϕ(x) a Φ(–x) = 1 – Φ(x).

Význam normálneho rozdelenia spočíva v tom, že ním možno aproximovať množstvo

iných rozdelení a že približne normálne rozdelenie majú mnohé náhodné veličiny,

ktorých hodnota je súhrnom účinkov množstva nezávislých činiteľov, ktoré (každý

sám o sebe) majú iba nepatrný vplyv.

Normálne rozdelenie sa tiež nazýva Gaussovým rozdelením a jeho hustota Gaussovou

krivkou alebo Gaussovým zákonom chýb. Grafy hustoty

ϕ(x) a distribučnej funkcie

Φ(x) normovaného normálneho rozdelenia sú znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok: Grafické znázornenie a) hustoty pravdepodobnosti, b) distribučnej funkcie

normovaného normálneho rozdelenia

Všeobecným normálnym rozdelením (rozdelením N(

µ ,σ2)) nazývame rozdelenie so

strednou hodnotou

µ a rozptylom σ2, pričom hustota f(x) sa rovná:

2

2

2

(

)

(

)

2

2

1

1

1

( )

2

2

x

x

x

f x

e

e

µ

µ

σ

σ

µ

ϕ

σ

σ

σ π

σ π

−

−





−

−







−





=

=

⋅

=

⋅









a distribučná funkcia F(x) je vyjadrená vzťahom:

2

2

(

)

2

1

( )

d

2

t

x

x

F x

e

t

µ

σ

µ

σ

σ π

−

−

−∞

−





= Φ

=

⋅









∫

,

pričom grafické znázornenie hustoty normálneho rozdelenia pre

σ = 0,4; 1; 2,5 a µ =

0 je na nasledujúcom obrázku:

Obrázok: Grafické znázornenie normálnych rozdelení pre niektoré prípady

σ

Jednotlivé pravdepodobnosti javov určených náhodnou veličinou x s rozdelením

N(

µ ,σ2) vypočítame podľa vzťahov:

2

2

(

)

2

1

(

)

d

2

x

b

a

b

a

P a

x

b

e

x

µ

σ

µ

µ

σ

σ

σ π

−

−

−

−









≤ ≤ =

⋅

= Φ

− Φ

















∫

,

(

)

2

1

a

P x

a

µ

σ

 

− ≤ = Φ

−

 

 

,

(

)

2 1

a

P x

a

µ

σ





 

− > =

− Φ 





 





.

Lineárna funkcia ax + b náhodnej veličiny x s normálnym rozdelením N(

µ ,σ2)

má normálne rozdelenie N( a

µ + b, a2σ 2 ). Normovaná náhodná veličina u, ktorá je

vyjadrená vzťahom:

x

u

µ

σ

−

=

má normované normálne rozdelenie N(0,1).

Príklady diskrétnych rozdelení

Alternatívne rozdelenie

Najjednoduchším typom diskrétnych rozdelení je tzv. alternatívne rozdelenie. Je

to rozdelenie náhodnej veličiny, ktorá môže nadobúdať len 2 hodnoty: hodnoty 1
s pravdepodobnosťou p a hodnoty 0 s pravdepodobnosťou q=1 – p. Uvedenú náhodnú
veličinu nazývame nula-jedničková. Ľahko je možné vypočítať jej strednú hodnotu
a rozptyl:

E(X) = 1 . p + 0 (1– p) = p a D(X) = (1 – p)

2 . p + p2.(1 – p) = p (1–p)

Nula-jedničkové náhodné veličiny je možné použiť pre popis výskytu určitého
náhodného javu. Ak náhodný jav nastal, nadobúda táto veličina hodnotu 1, ak
nenastal, tak nadobúda hodnoty 0. (Číslo p je jediným parametrom tohto rozdelenia).

Binomické rozdelenie

Predpokladajme, že určitý pokus opakujeme n-krát za rovnakých podmienok.

V každom pokuse môže nastať náhodný jav A s rovnakou pravdepodobnosťou p
a nenastať s pravdepodobnosťou q=1 – p. Uvedená schéma pokusov sa nazýva
Bernoulliho schéma. Počet realizácií náhodného javu A v Bernoulliho schéme n
nezávislých pokusov je zrejme diskrétnou náhodnou veličinou X, ktorá môže
nadobúdať hodnoty 0, 1, ... , n. Vzhľadom k nezávislosti pokusov pre jej
pravdepodobnostnú funkciu platí:

( )

( )

(

)

k

n k

n

n

P k

P X

k

p q

k

−

=

= =

,

k = 0, 1, ..., n

Rozdelenie, ktoré je popísané touto pravdepodobnostnou funkciou sa nazýva
binomické rozdelenie s parametrami n a p a označujeme ho Bi(n, p). (Parametre sú
veličiny, ktorých hodnoty musíme poznať, aby sme ľubovoľnému x mohli pomocou
Pn(k) priradiť jeho pravdepodobnosť).

Pri výpočte strednej hodnoty a rozptylu náhodnej veličiny s binomickým

rozdelením pravdepodobnosti je možné s výhodou použiť rozpis binomickej veličiny
X v tvare súčtu nula-jedničkových náhodných veličín. Ak vezmeme do úvahy
vlastnosti Bernoulliho schémy, tak platí:

X = Y1 + Y2 + ... + Yn

kde Y1, Y2 ... Yn sú nezávislé náhodné veličiny s týmto alternatívnym rozdelením.
Použitím vlastnosti strednej hodnoty a rozptylu náhodných veličín tak dostávame:

E(X) = E(Y1) + E(Y2) + ... + E(Yn) = p + p + ... + p = np

D(X) = D(Y1) + D(Y2) + ... + D(Yn) = p (1 – p) + ... + p (1 – p) = np (1 – p) = npq

Príklad:
Pravdepodobnosť vypestovania zdravej rastliny zo semena je 0,3. Aká je
pravdepodobnosť, že vypestujeme aspoň 3 a najviac 5 zdravých rastlín, ak zasadíme
10 náhodne vybraných semien? Aký bude priemerný počet vypestovaných zdravých
rastlín?

Riešenie:
Nech X je náhodná veličina, ktorá predstavuje počet vypestovaných zdravých rastlín.
Zo zadania úlohy vyplýva, že táto veličina má rozdelenie Bi(10, 0,3). Úlohou je
stanoviť pravdepodobnosť P(3

5

≤

≤ X

).

P(3

5

≤

≤ X

) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) =

=

57

,

0

7

,

0

.

3

,

0

5

10

7

,

0

.

3

,

0

4

10

7

,

0

.

3

,

0

3

10

5

5

6

4

7

3

=













+













+













Priemerný počet vypestovaných rastlín určíme zo vzťahu E(X) = np = 10 . 0,3 = 3.

Poissonovo rozdelenie

Ak

∞

→

n

a

0

→

p

a

λ

=

np

, kde

λ je kladná konštanta, tak takýmto spôsobom

dostaneme limitný prípad binomického rozdelenia, ktoré nazývame rozdelenie
Poissonovo s parametrom

λ. Budeme ho označovať Po(λ). Pravdepodobnostná

funkcia tohto rozdelenia má tvar:

(

)

!

k

k

e

P

P X

k

k

λλ

−

=

=

=

, k = 0, 1, 2, ...

Rozdelenie Po(

λ) je charakteristické tým, že E(X) = D(X) = λ. Poissonovo rozdelenie

s parametrom

λ = np býva vhodnou aproximáciou binomického rozdelenia Bi(n, p),

ak počet kusov n je veľký (prakticky n > 30) a pravdepodobnosť p je malá (prakticky
p < 0,1). Pre Poissonovo rozdelenie sa niekedy používa názov zákon vzácnych javov
(zákon riedkych javov). Popisuje totiž správanie sa tzv. vzácnych javov, ktoré majú
malú pravdepodobnosť výskytu, takže aj v rozsiahlych súboroch pozorovaní sa
vyskytujú zriedka.

Hypergeometrické rozdelenie

Veľa dôležitých úloh môže byť popísaných podľa tejto schémy:

V súbore N prvkov ich má M určitú vlastnosť A. Zo súboru náhodne vyberieme n
prvkov, bez toho, aby sme ich po vybratí vracali naspäť do pôvodného súboru (tzv.
výber bez vrátenia). Počet prvkov s vlastnosťou A, ktoré boli vybrané do uvedeného
výberu n prvkov, je zrejme náhodná veličina X, ktorá môže nadobúdať hodnoty k =
max (0, n + M - N), ... , min (M, n) s pravdepodobnosťami

(

)

M

N

M

k

n

k

P X

k

N

n

−













−







=

=

 

 

 

.

Rozdelenie náhodnej veličiny X, popísané touto pravdepodobnostnou funkciou sa
nazýva hypergeometrické rozdelenie.

Je možné ukázať, že stredná hodnota a rozptyl hypergeometrického rozdelenia sú

E(X) = np

a D(X) =

1

N

n

npq

N

−

−

.

kde p =

N

M

a q=1 – p. Porovnaním s binomickým rozdelením zistíme, že stredné

hodnoty sú pri oboch rozdeleniach rovnaké, rozptyl hypergeometrického rozdelenia je

menší, alebo tzv. konečnostný faktor

1

−

−

N

n

N

je menší než 1.

Ak je rozsah výberu n veľmi malý vzhľadom k rozsahu základného súboru N, je

možné hypergeometrické rozdelenie úspešne nahradiť binomickým rozdelením.
Výhodná a v praxi často používaná je tiež aproximácia rozdelením Poissonovým

s parametrom

N

M

n

=

λ

. Náhrada je kvalitná už pri

N

M

< 0,1 a

N

n

< 0,1.

Príklady spojitých rozdelení

Normálne rozdelenie

Kľúčové postavenie v štatistickej teórii aj aplikáciách má normálne (Gaussovo)

rozdelenie. Je najfrekventovanejším rozdelením spojitých náhodných veličín.
V zásade sa dá povedať, že je adekvátnym pravdepodobnostným modelom takých
náhodných veličín, ktoré sú súčtom veľkého počtu nezávislých alebo len slabo
závislých veličín (zložiek), pričom príspevky jednotlivých zložiek sú nepatrné.

Význam normálneho rozdelenia je podčiarknutý okolnosťou, že za veľmi širokých

podmienok im je možné aproximovať veľa iných rozdelení, dokonca aj rozdelenie
diskrétnych náhodných veličín.

Hustota pravdepodobnosti normálneho rozdelenia je daná výrazom

2

2

2

(

)

(

)

2

2

1

1

1

( )

2

2

x

x

x

f x

e

e

µ

µ

σ

σ

µ

ϕ

σ

σ

σ π

σ π

−

−





−

−







−





=

=

⋅

=

⋅









,

∞

− < x <

∞

+ ,

kde konštanty

(

)

∞

∞

−

∈

,

µ

a

2

σ > 0 sú parametre tohto rozdelenia. (Rozdelenie dané

touto hustotou býva často skrátene označované N(

µ, σ2). Parameter µ sa rovná

strednej hodnote a parameter

σ2 rozptylu normálne rozdelenej náhodnej veličiny X:

E(X) =

µ a D(X) = σ2.

Grafom hustoty normálneho rozdelenia je tzv. Gaussova krivka. Jedná sa

o zvonovitú symetrickú krivku, ktorá nadobúda maximá v bode x =

µ a pre

±∞

→

x

sa asymptoticky približuje k osi úsečiek. Pre x =

µ ± σ má Gaussova krivka inflexné

body. Zmenou strednej hodnoty

µ pri konštantnej veľkosti rozptylu σ2 sa posúva

Gaussova krivka pozdĺž osy x, bez toho, aby sa menil tvar krivky. Ak sa mení
parameter

σ2 a µ = konšt., dochádza k zmene tvaru normálnej krivky. Ak µ = 0 a σ2

= 1, hovoríme o normovanom normálnom rozdelení, ktoré označujeme N(0, 1).
Hustota normovaného normálneho rozdelenia, tzv. normovaná normálna hustota, má
tvar:

2

2

1

( )

2

x

x

e

ϕ

π

−

=

⋅

.

Tejto hustote pravdepodobnosti zodpovedá distribučná funkcia

2

2

1

( )

d

2

x

t

x

e

t

π

−

−∞

Φ

=

⋅

∫

,

ktorú nazývame normovaná normálna distribučná funkcia.

Pre normálne rozdelenie sú charakteristické tieto vlastnosti:

1.

Ak náhodná veličina X má rozdelenie N(

2

,

σ

µ

), má ľubovoľná lineárna

funkcia Y = aX + b normálne rozdelenie s parametrami

b

a

+

µ

a

2

2

σ

a

.

Špeciálne to znamená, že normovaná veličina U =

σ

µ

−

X

má rozdelenie

N

(0, 1).

2.

Ľubovoľná lineárna kombinácia n nezávislých náhodných veličín, ktoré
majú všetky normálne rozdelenia, má opäť normálne rozdelenie. Odtiaľ
vyplýva, že súčet, rozdiel a priemer nezávislých normálne rozdelených
náhodných veličín sú náhodné veličiny, ktoré majú opäť normálne
rozdelenie.

Rozdelenie

F

t

,

,

2

χ

S normálnym rozdelením sú úzko spojené tri dôležité rozdelenia spojitých náhodných
veličín:

2

χ - rozdelenie, Studentovo t-rozdelenie a F-rozdelenie. Majú mimoriadny význam

pri analýze štatistických dát, získaných náhodných výberom.

a)

2

χ - rozdelenie

Nech U1, U2, ... Uv sú nezávislé náhodné veličiny s rozdelením N(0, 1).
Rozdelenie náhodnej veličiny

2

χ = U

1

2 + U

2

2 + ... + U

v

2

sa nazýva

2

χ - rozdelenie pri k stupňoch voľnosti a označuje sa 2

χ (k).

b)

Studentovo t-rozdelenie

Nech U a V sú nezávislé náhodné veličiny, z ktorých U má rozdelenie N(0, 1) a V má
rozdelenie

2

χ (k). O náhodnej veličine t, definovanej vzťahom

t =

U

V

k

budeme hovoriť, že má

Studentovo t-rozdelenie o k stupňoch voľnosti.

c)

Fisherovo – Snedecorovo rozdelenie (F-rozdelenie)

Rozdelenie náhodnej veličiny

F =

1

2

1

2

:

V V

n

n

kde

V1 resp. V2 sú nezávislé náhodné veličiny, ktoré majú rozdelenie

2

χ (n

1) resp.

2

χ (n

2), sa nazýva Fisherovo – Snedecorovo rozdelenie (alebo len stručne F-

rozdelenie) o

n1 a n2 stupňoch voľnosti a označuje sa F(n1, n2). Používa sa hlavne

v analýze rozptylu.

Momenty

Pre opis základných vlastností súboru sa používa pojem momentu, podobne ako sa v
mechanike používa moment inercie na opísanie rozloženia hmoty. V praxi sa
najčastejšie používajú momenty dvoch typov: počiatočné a centrálne.

Počiatočným momentom k-tého rádu diskrétnej veličiny X sa nazýva suma typu

[ ] ∑

=

i

i

k

p

x

X

.

α

Ako sme uviedli, aritmetický priemer možno vypočítať podľa vzťahu

i

n

i

i

p

x

x

.

1

.

∑

=

−

=

Ak poznáme oba vzťahy a porovnávame ich vidíme, že aritmetický priemer je vlastne
počiatočný moment k-tého rádu náhodnej veličiny X a preto sa nazýva aritmetický
priemer k-tého stupňa tejto veličiny.

Všeobecný moment k-tého radu

∑

=

=

′

n

i

k

i

k

x

n

1

1

µ

Centrálny moment. Najprv si osvetlíme pojem centrovanej náhodnej veličiny.
Centrovanou
náhodnou veličinou budeme nazývať odchýlku náhodnej veličiny X, od jej
aritmetického priemeru

−

−

=

x

x

X

.

kde

.

X

je centrovaná náhodná veličina.

Aritmetický priemer centrovanej náhodnej veličiny je rovný nule

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

=

−

=

−

=













−

=







 −

=









n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

x

x

p

x

p

x

p

x

x

x

x

X

X

X

1

1

1

.

0

.

Nezabudnime, že

∑

=

=

n

i

pi

1

1

∑

=

−

=

n

i

i

i

x

p

x

1

.

Centrovanie náhodnej veličiny odpovedá prenosu počiatku súradníc do bodu,

ktorý má hodnotu aritmetického priemeru. Momenty centrovanej náhodnej veličiny sa
nazývajú

centrálne momenty. Sú analogické pojmu ťažisko v mechanike.

Centrálnym momentom k-tého rádu náhodnej veličiny X sa nazýva aritmetický
priemer k-tého stupňa tejto centrovanej náhodnej veličiny

[ ]



























 −

=













=

=

−

−

k

k

k

x

x

X

X

x

X

.

µ

Pre diskrétnu veličinu sa k-tý centrálny moment vyjadruje sumou

∑

=

−













−

=

n

i

i

k

i

s

p

x

x

1

µ

Ako sme ukázali, prvý centrálny moment je rovný nule

0

=

µ

Centrálny moment k-tého radu sa vypočíta

( )

∑

=

−

=

n

i

k

i

k

x

x

n

1

1

µ

Vypočítame si druhý centrálny moment

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

=

+

−

=

+

−

=

−

=

n

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

i

x

x

x

p

x

p

x

x

p

x

p

x

x

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

.

2

.

α

α

µ

Analogicky vypočítame tretí centrálny moment

( )

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

−

−

=

−

+

−

=

−

=

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

x

p

x

p

x

x

p

x

x

p

x

p

x

x

1

1

1

2

1

2

3

1

3

2

2

3

3

3

2

3

.

3

.

3

.

α

α

µ

Druhý centrálny moment sa nazýva rozptyl (disperzia) náhodnej veličiny

2

2

s

=

µ

Rozptyl (variabilita, variancia, disperzia) – s

2 je daný vzorcom:

( )

∑

=

−

=

n

i

i

kde

x

x

n

s

1

2

2

,

1

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

, (a)

resp.

( )

∑

=

−

=

k

i

i

i

kde

f

x

x

n

s

1

2

2

,

1

∑

=

=

k

i

i

i

f

x

n

x

1

.

1

a pre výberový súbor

( )

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

1

resp.

( )

i

k

i

i

f

x

x

n

s

∑

=

−

−

=

1

2

2

1

1

(b)

Pri výpočte rozptylu používame vzorce (a) vtedy, ak je štatistický súbor malý, a ak
poznáme aritmetický priemer. Môžeme použiť aj vzorec odvodený z (1), jeho

výhodou je, že nemusíme počítať odchýlky

,

x

x

i −

platí

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

2

1

resp.

∑

=

−

=

k

i

i

i

x

f

x

n

s

1

2

2

2

.

1

,

pre výberový súbor













−

−

=

∑

=

n

i

i

x

n

x

n

s

1

2

2

2

1

1

,resp.













−

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

n

f

x

n

s

1

2

2

2

.

1

1

,kde

2

1

2

.

1













=

∑

=

k

i

i

i

f

x

n

x

Ak sú dané iba hodnoty xi, prípadne aj ich početnosti fi, je výhodnejšie použiť vzťahy,
ktoré sú odvodené z predchádzajúcich vzorcov

n

n

x

x

s

n

i

n

i

i

i

∑

∑

=

=













−

= 1

2

1

2

2

, resp.

n

n

f

x

f

x

s

k

i

i

k

i

i

i

i

∑

∑

=

=













−

= 1

2

1

2

2

.

.

pre výberový súbor









































−

−

=

∑

∑

=

=

k

i

k

i

i

i

i

i

n

f

x

f

x

n

s

1

2

1

2

2

.

1

1

Rozptyl má tú nevýhodu, že nemá rozmer hodnôt znakov. Tenko nedostatok

nemá

smerodajná (štandardná) odchýlka – s

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

alebo

∑ −

=

k

i

x

x

n

s

2

2

1

Hodnotu smerodajnej odchýlky dostaneme, ak príslušný tvar rozptylu odmocníme.

Ak použijeme analógiu s mechanikou, tak disperzia je vlastne moment inercie

– udáva rozdelenie hmoty okolo ťažiska.

Tretí centrálny moment sa používa na

charakteristiku symetrie resp. asymetrie súboru (vlastne každý nepárny moment sa
môže použiť na charakteristiku asymetrie). Aby sme dostali bez rozmernú veličinu,
delíme tretí centrálny moment treťou
mocninou strednej kvadratickej odchýlky.
Získanú hodnotu nazývame asymetria (A)
alebo koeficient šikmosti (kš)

3

3

s

A

µ

=

alebo

( )

s

x

x

kš

ˆ

3

−

=

Ak má hodnotu 0, môžeme konštatovať, že rozdelenie hodnôt je symetrické,

ak koeficient šikmosti je kladný, hovoríme o zošikmení doľava (vyskytujú sa častejšie
menšie hodnoty), ak je koeficient šikmosti záporný hovoríme o zošikmení doprava
(vyskytujú sa častejšie väčšie hodnoty)

Štvrtý centrálny moment sa používa na
charakteristiku štíhlosti (špicatosti) súboru.
Získanú veličinu nazývame exces:

3

4

4

−

=

s

E

µ

Ak ma hodnotu 0, môžeme konštatovať že
rozdelenie je rovnako špicaté ako normálne,
ak je > 0 rozdelenie je “špicatejšie“ ako
normálne a ak je < 0 hovoríme o “plochšom“
rozdelení ako je normálne.




Príklad:

Počet detí do 18 rokov v 40 náhodne vybraných rodinách je uvedený v tabuľke

Určte!

a) rozpätie
b) priemernú odchýlku
c) rozptyl, smerodajnú odchýlku
d) kvartilové rozpätie
e) viariačný koeficient
f) koeficient šikmosti

Riešenie

a) Rozpätie R = xmax – xmin = 7 – 0 = 7
b) Vytvoríme tabuľku pre ďalšie výpočty

X i

f i

x i f i

x i -x

x

i -x f

x i

2

f i

kf i

0

5

0

-2,5

12,5

0

5

1

11

11

-1,5

16,5

11

16

2

8

16

-0,5

4

32

24

3

5

15

0,5

2,5

45

29

4

3

12

1,5

4,5

48

32

5

3

15

2,5

7,5

75

35

6

4

24

3,5

14

144

39

7

1

7

4,5

4,5

49

40

∑ = 40

∑ = 100

∑ = 66

∑ = 404

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

fi

5

11

8

5

3

3

4

1

Priemerná odchýlka

∑

∑

=

=

=

=

−

=

−

=

7

0

1

,

5

,

1

66

.

40

1

5

,

2

40

1

1

i

i

i

k

i

i

i

kde

f

x

f

x

x

n

d

5

,

2

100

.

40

1

1

7

0

=

=

=

∑

=

i

i

i f

x

n

x

c) Pretože je to výberový súbor, na výpočet variability použijeme vzorec

(

) 95

,

3

250

404

39

1

39

40

100

404

1

.

.

2

1

2

1

2

2

=

−

=













−

=

−













−

=

∑

∑

=

=

n

n

f

x

f

x

s

k

i

i

k

i

i

i

i

Smerodajná odchýlka

99

,

1

95

,

3

2

=

=

= s

s

d) Kvartilové rozpätie

d

h Q

Q

Q

−

=

83

,

3

1

.

3

29

30

5

,

3

.

4

3

1

1

=

−

+

=

−

+

=

∑

−

=

h

f

f

n

L

Q

m

m

i

i

h

95

,

0

1

.

11

5

10

5

,

0

.

4

1

1

=

−

+

=

−

+

=

∑

−

=

h

f

f

n

L

Q

m

m

i

i

d

88

,

2

95

,

0

83

,

3

=

−

=

Q

e

) Variačný koeficient

3

,

0

9

,

2

88

,

0

=

=

=

x

s

v

f) Koeficient šikmosti

(

)

kde

s

x

x

kš

,

75

,

0

2

2

5

,

2

.

3

3

=

−

=











 −

=

∧

2

5

,

0

5

,

1

1

.

8

16

20

5

,

1

.

2

1

1

=

+

=

−

+

=

−

+

=

∑

−

=

∧

h

f

f

n

L

x

m

m

i

i

Príklad 1 :

Hádžeme dvoma pravidelnými diskami, ktorých strany sú očíslované (1 a 2).
Sledujeme podiel čísla na prvom k číslu na druhom disku. Nájdite rozdelenie
pravdepodobnosti, strednú hodnotu a disperziu tejto náhodnej premennej. [2]

Riešenie:

xi

1/2

1/1

2/1

pi

1/4

2/4

1/4

E(x)=SUM(pi*xi)
D(x)=SUM(pi*xi^2)

F(0)=P(X

≤ 0)=0

F(1/2)=P(X

≤ 1/2)=1/4

F(3/4)=P(X

≤ 3/4)=1/4

F(1)=P(X

≤ 1)=1/4+2/4=3/4

F(2)=P(X

≤ 2)=1/4+1/4+2/4=1

MATLAB:
x=[1/2, 1 , 2 ];
p=[1/4, 1/2 , 1/4];
stem(x,p,'r') ----- 'r' - farba
hold
plot(x,p)

Príklad 2:

Pri kontrole automatickej prevádzky na výrobu 40% rumu boli zistené tieto výsledky
(v percentách, bolo odobrených 20 vzorkou):

40.8 40 .9 40.2 39.8 40.1 40.2 40.3 40.6 40.9 39.1

39.5 39.8 39.9 39.6 40.2 40.7 39.2 40.1 40.2 38.9

Rozhodnite, či je priemerný obsah alkoholu vo vyrábanom rumu väčší alebo menší
než deklarovaných 40 % a odhadnite pravdepodobnosť, že náhodne odoberaná vzorka
bude mať obsah alkoholu v rozmedzí 39% až 40%.

Riešenie:

Funkcia MAX nájde najväčší a funkcia MIN najmenšiu hodnotu zo zadaných dát.

Funkcia HISTC sa použije v príkaze N=HISTC(X, A), kde X je pole dát a A je
vektor krajných bodov triedy. Výstup N je vektor o toľko súradníc, koľko máme tried
a jeho súradnice sú počty prvkov v danej triede.

Funkcia BAR vytvorí obrázok histogramu príkazom BAR(X,A, ‘HISTC‘).

Teda: Vložme dáta

X=[40.8; 40.9; 40.2; 39.8; 40.1; 40.2; 40.3; 40.6; 40.9 ;39.1; 39.5; 39.8; 39.9; 39.6;
40.2; 40.7; 39.2; 40.1; 40.2; 38.9];

Vypočítame najväčší a najmenšiu hodnotu

a=max(X) b=min(X)

a = 40.9000 b = 38.9000

Vypočítame dĺžku triedy c=(a-b)/4

c = 0.5000

Teraz vytvoríme krajné body jednotlivých tried. Pretože funkcia HISTC nepracuje
úplne tak, ako by sme potrebovali, musíme trochu zmeniť dĺžku triedy - položme
c=0.501 a zväčšíme také o trochu maximálnu hodnotu na 41.3.

A=[38.9:0.501:41.3]

A = 38.9000 39.4010 39.9020 40.4030 40.9040

Zavolajme funkciu HISCT N=histc(X,A)

N = 3 5 7 5 0

Posledná nula znamená počet hodnôt, ktoré sa rovnajú poslednej zložke vektoru A, a
to nie je žiadna, práve preto sme trochu modifikovali dĺžku triedy c.

Nakoniec nakreslíme obrázok BAR(A,N,'histc')

Teraz k druhej časti príkladu: nájdeme výberovú strednú hodnotu (funkcie MEAN) a
výberový rozptyl (pomocou funkcie VAR) náhodnej veličiny, je náhodný výber sme
urobili.

mean(X)

ans = 40.0500

var(X)

ans = 0.3416

Ak je potom F(x) distribučná funkcia našou náhodnou veličinou, je hľadaná
pravdepodobnosť

P(0.39 < X < 40) = F(40) – F(39).

Hodnoty funkcie F(x) dáva funkcia NORMCDF(X, MU, SIGMA), kde X je bod,
v ktorej hľadáme hodnotu, MU je stredná hodnota a SIGMA rozptyl náhodnej
veličiny.

Teda: p = normcdf(40,40.05,0.3416) – normcdf(39,40.05,0.3416)

p = 0.4408.