Popisná štatistika.

Popisná štatistika.

Štatistika skúma javy na prípadoch v rozsiahlych súboroch a hľadá tie vlastnosti javov, ktoré
sa prejavujú až pri veľkom výskyte prípadov a nie v jednotlivých prípadoch. Základným
pojmom štatistiky je štatistický súbor.

Definícia: Štatistický súbor je ľubovoľná dobre definovaná množina štatistických jednotiek.
Štatistický súbor môže byť určený zoznamom svojich prvkov (jednotiek) alebo môže byť
definovaný pomocou nejakého pravidla (vlastnosti). V prípade nejakých pochybnosti musí
existovať možnosť overiť, či daná jednotka patrí do štatistického súboru.

Štatistický súbor pracuje so štatistickými jednotkami, na ktorých sa meria jeden alebo viacero
štatistických znakov. Meranie týchto štatistických znakov môže byť uskutočnené podľa
viacerých kritérií. Najbežnejšie kritériá sú:

(1) Nominálne: predpokladá disjunktné kategórie, ktoré obsahujú všetky možné hodnoty

merania. Je to analógia rozkladu náhodného javu z teórie pravdepodobnosti. Medzi
jednotlivými hodnotami nie je žiaden vzťah, ani usporiadanie. (napr. farba očí pri
výskume dedičnosti)

(2) Ordinálne: je to v podstate nominálne kritérium, v ktorom pribudlo usporiadanie

jednotlivých hodnôt. Možným hodnotám môžeme priradiť indexy (resp. poradové
čísla), pričom hodnota s menším indexom sa nachádza pred hodnotou s väčším
indexom. (napr. najväčšie dosiahnuté vzdelanie, počet hviezdičiek priradených
kategórii hotela, úroveň jazykovej zdatnosti) Tieto indexy vyjadrujú iba poradie
týchto hodnôt a nie ich vzdialenosť!

(3) Intervalové: toto kritérium predpokladá jednoznačné číselné označenie jednotlivých

možných hodnôt. Určuje to ich usporiadanie a súčasne sa predpokladá, že vzdialenosti
medzi susednými hodnotami sú konštantné. Dôležité je, že umiestnenie nuly je iba
dohoda – napr. pri meraní teploty, je nula umiestnená v závislosti od teplotnej
stupnice.

(4) Pomerové: vyjadruje vzťah nejakej nameranej veličiny k nejakej dohodnutej jednotke,

t.j. udáva jej násobok. Nula v tomto prípade udáva neexistenciu meranej vlastnosti.
(Najčastejšie sem patria fyzikálne veličiny.)

Kvalitatívne znaky: sú štatistické znaky, ktoré sú merané podľa nominálnaho resp.
ordinálneho kritéria.
Kvantitatívne znaky (spojité): sú štatistické znaky, ktoré sú merané podľa intervalového alebo
pomerného kritéria.

Definícia: Predpokladajme, že sme pre n štatistických jednotiek namerali hodnoty

x1, x2, x3, ... , xn-1, xn

daného znaku. Potom tieto hodnoty nazývame súbor hodnôt daného znaku štatistického
súboru. Ak tieto hodnoty navyše usporiadame (aspoň podľa ordinálneho kritéria) do
neklesajúcej postupnosti čísel

{x

(1), x(2), ... , x(n-1), x(n)

}, kde

x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n-1) ≤ x(n),

potom tento súbor hodnôt nazývame usporiadaný súbor hodnôt. Indexy v zátvorkách
vyjadrujú poradie jednotlivých nameraných hodnôt. Najmenšiu hodnotu označíme x(1)
a najväčšiu hodnotu označíme symbolom x(n).

Prehľadná tabuľka

TYPY DÁT

Typ dát

Stručný opis

Príklad

Nominálny

Len triedy. Dáta sa nedajú
usporiadať podľa poradia

Rozdelenie voličov:
45 demokratov
80 republikánov Len kategórie
90 nezávislých

K

v
a

l
i
t

a

t

Ordinálny

Triedy sú usporiadané, ale
rozdiely medzi dátovými
hodnotami sa nedajú určiť
alebo nemajú zmysel.

Rozdelenie voličov:
45 nízky príjem Usporiadanie je určené
80 stredný príjem poradím
90 vysoký príjem „ nízky, stredný, vysoký“.

Intervalový

Zmysluplné rozdiely medzi
hodnotami sa dajú nájsť, ale
neexistuje na stupnici
začiatočný bod. Podiely
nemajú zmysel.

Teplotu oceľových drôtov
45˚ F 90˚ F nie je
80˚ F dvakrát teplejší
90˚ F ako 45˚ F

K

v
a
n

t
i
t

a

t

Podielový

Rozdiely medzi hodnotami
majú zmysel. Na stupnici
existuje začiatočný bod.
Podiely majú zmysel.

Dĺžky oceľových drôtov.
45 cm 90 cm je
80 cm dvakrát dlhší
90 cm ako 45 cm.

Príklad 1. Máme súbor 155 osobných automobilov, u ktorých sledujeme tieto znaky:
spotreba, počet valcov, výkon motora, zrýchlenie, rok výroby, hmotnosť, pôvod, výrobca,
model. Klasifikujte uvedené znaky podľa štyroch typov aj podľa dvoch typov.

Riešenie. Výsledok je zobrazený v nasledujúcej tabuľke:

KVALITATÍVNY ÚDAJ

KVANTITATÍVNY ÚDAJ

nominálny typ

ordinálny typ

intervalový typ

podielový typ

pôvod

počet valcov

spotreba

výrobca

rok výroby

výkon motora

model

zrýchlenie

hmotnosť

T

riedením rozumieme rozdelenie jednotiek súboru do takých skupín (tried), aby čo najlepšie

vynikli charakteristické vlastnosti skúmaných javov. Výsledkom triedenia býva tabuľka
početnosti.

Tabuľka početnosti: Predpokladajme, že máme veľký súbor (n ≥ 30) a namerané hodnoty
podľa kvalitatívneho kritéria. Nech sa znaky často opakujú a nech

a1, a2, ... , am pre m

< n

sú všetky rôzne hodnoty štatistického súboru. V prípade ordinálneho kritéria sú usporiadané

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ am.

Nech n1, n2, ... , nm sú zistené (absolútne) početnosti týchto hodnôt. Potom musí platiť, že:

1

m

i

i

n

n

=

=

∑ .

Takýto typ tabuľky početnosti sa najčastejšie používa pri kvalitatívnych kritériách a pri
súboroch, ktorých znaky nadobúdajú len celočíselné hodnoty.
V prípade kvantitatívnych kritérií sa uvedený postup trochu modifikuje. Meraný znak môže
nadobúdať veľa hodnôt, ale často sa neopakujú, ale vyskytujú sa tam s malými odchýlkami.
Potom umelo zmenšíme počet rôznych hodnôt tak, že obor hodnôt rozdelíme na disjunktné
intervaly:

(–

∞, t

0)

∪ 〈t

1, t2)

∪ 〈t

2, t3)

∪ ... ∪ ∪〈t

m,

∞)

resp.

(–

∞, t

0〉

∪ (t

1, t2〉

∪ (t

2, t3〉

∪ ... ∪ ∪(t

m,

∞).

Všetky hodnoty z j-teho intervalu (tj-1, tj〉 stotožníme s hodnotou

aj = (tj – 1 + tj)/2 pre j = 1. ,,, . m–1.

Hodnota

a0 = t0 – (t1 – t0)/2

a

am = tm–1 + (tm – 2 – tm – 1)/2.

Najčastejšie sa zvolia deliace body tak, aby intervaly mali rovnakú dĺžku (krajné intervaly
môžu tvoriť výnimku) a dĺžka intervalu sa zvykne označovať

h

= tj – tj – 1 pre j = 1, ... , m – 1.

Potom určíme počty nj pre j = 0, 1, 2, ... , m – 1, m (takzvané triedne početnosti) hodnôt xi,
ktoré patria do jednotlivých intervalov (takzvané triedy) a dostávame tabuľku početnosti.

Tabuľku početnosti môžeme doplniť o ďalšie údaje:

– relatívnu početnosť

fj = nj / n, pre j = 0, 1, .. , m

– kumulatívnu početnosť

0

j

j

i

i

N

n

=

=

∑ , pre j = 0, 1, ... , m

– relatívnu kumulatívnu početnosť

Fj = Nj /n, pre j = 0, 1, ... , m

Grafy (diagramy):

– polygón početností
– histogram
– kruhový (koláčový)
– prstencový (pre viacero radov)

Optimálny počet tried:

1 3, 322 log

m

n

= +

⋅

Konštrukcia tabuľky početností:

Vytváranie tabuľky početností je dobrá metóda na opis veľkej množiny dát. Pôvodné dáta sa
zatrieďujú (grupujú) do tried (kategórií) a zisťujú sa početnosti jednotlivých tried, čím sa
vytvorí rozdelenie početností.

Proces konštruovania tabuľky početností sa skladá z týchto krokov:

1. Určenie počtu tried m, ktoré bude obsahovať tabuľka početností. Ak nevieme určiť počet

tried, použijeme napr. vzorec

1 3, 322 log

m

n

= +

⋅

2. Nájdeme najmenšiu

min

x

a najväčšiu

max

x

hodnotu zo súboru hodnôt.

3. Nájdeme šírku triedy h delením rozdielu medzi najväčšou a najmenšou hodnotou

(nazývanou rozpätie =

min

max

x

x

−

) počtom tried. Výsledky zaokrúhľujte nahor na vhodné

číslo tak, aby každá hodnota zo súboru hodnôt bola obsiahnutá v tabuľke početností.

max

min

x

x

h

m

−

=

4. Zvolíme ako štartovací bod najmenšiu hodnotu alebo hodnotu trocha menšiu ako

najmenšia hodnota. Štartovací bod je

dolná hranica prvej triedy

0

t .

5. Pripočítajte šírku triedy

h k štartovaciemu bodu

0

t , aby ste dostali dolnú hranicu druhej

triedy

1

t . Pripočítajte šírku triedy h k dolnej hranici druhej triedy

1

t , aby ste dostali dolnú

hranicu tretej triedy

2

t . atď.

6. Dajte všetky dolné hranice do jedného stĺpca a horné hranice do vedľajšieho stĺpca, ako je

uvedené v nasledujúcej tabuľke.

7. Zaznamenajte každú hodnotu do riadku príslušnej triedy.
8. Spočítajte počty záznamov prislúchajúcich jednotlivým triedam. Dostanete tak

početnosti

jednotlivých tried

i

n . Tieto zaznamenajte v ďalšom stĺpci.

9. Vypočítajte

relatívne početnosti, kumulatívne početnosti, kumulatívne relatívne početnosti

a zapíšte ich do ďalších troch stĺpcov. Takto sme vytvorili celú tabuľku početností.

Tabuľka 1 Schéma rozdelenia početnosti:

Obmena

znaku i

x

Absolútna

početnosť i

n

Relatívna

početnosť i

f

Kumulatívna abs.
početnosť

i

N

Kumulatívna rel.
početnosť i

F

1

x

2

x

⋮

k

x

1

n

2

n

⋮

k

n

1

f

2

f

⋮

k

f

1

1

n

N

=

2

1

2

n

n

N

+

=

⋮

n

n

N

k

i

i

k

=

=

∑

=1

1

1

f

F

=

2

1

2

f

f

F

+

=

⋮

1

1

=

=

∑

=

k

i

i

k

f

F

súčet

n

n

k

i

i =

∑

=1

1

1

=

∑

=

k

i

i

f

Tabuľka 2

Schéma intervalového rozdelenia početnosti:

Trieda
interval

Dolná
medza

Horná
medza

Triedny
znak

Absolútna
početnosť

Relatívna
početnosť

Kumulatívna
početnosť

Relat. kum.
početnosť

0.

0

t

a0

0

n

0

0

n

f

n

=

0

n

0

f

1.

0

t

1

t

a1

1

n

n

n

f

1

1 =

0

1

n

n

+

0

1

f

f

+

2.

1

t

2

t

a2

2

n

n

n

f

2

2 =

0

1

2

n

n

n

+ +

0

1

2

f

f

f

+ +

⋮

m.

tm – 1

tm

am

nm

m

k

n

f

n

=

0

m

i

i

n

n

=

=

∑

0

1

m

i

i

f

=

=

∑

súčet

0

m

i

i

n

n

=

=

∑

0

1

m

i

i

f

=

=

∑

V tabuľke platia nasledujúce vzťahy:

min

0

x

t

<

,

max

x

tk >

,

1

2

i

i

i

t

t

a

− +

=

je stred

i-teho intervalu (i-tej triedy)

Na určenie počtu tried

m môžeme použiť niektoré z pravidiel:

(1)

R

m

h

= , kde

1

−

−

=

i

i

t

t

h

je šírka intervalu, ktorú môžeme určiť zo vzťahu

h=0,08R alebo h <

h

R

2

12

<

Ak tento podiel nie je celé číslo, berieme najbližšie vyššie celé číslo.

(2) podľa Sturgersovho pravidla:

1 3, 322 log

m

n

= +

, kde

m zaokrúhľujeme nahor.

– i

n je absolútna početnosť i-tej triedy a

–

n

n

f

i

i =

je relatívna početnosť

i-tej triedy

–

∑

=

=

i

j

j

i

n

N

1

je kumulatívna početnosť

i-tej triedy

.

--

n

N

F

i

i =

je kumulatívna relatívna početnosť

i-tej triedy

.

Kumulatívne rozdelenie početnosti nám umožňuje zaradiť individuálnu hodnotu znaku do
celkového rozdelenia početnosti daného znaku.
Potom pomocou tabuľky početností môžeme konštruovať

histogram, polygon početností,

polygon relatívnych početností, polygon kumulatívnych početností a polygon kumulatívnych
relatívnych početností. Všetky tieto grafy nám svojim spôsobom ukazujú rozdelenie
početností nameraných dát.

Charakteristiky polohy štatistického súboru: (Miery polohy)

Charakteristiky polohy nám udávajú hodnotu okolo ktorej sa jednotlivé pozorovania
zhromažďujú.

Priemer: (výberový priemer) Vyžaduje aspoň intervalové kritérium a rovnako závisí na
všetkých hodnotách štatistického znaku.

1

1

1

1

n

m

i

i

i

i

i

x

x

n x

n

n

=

=

= ⋅

= ⋅

⋅

∑

∑

Pre aritmetický priemer platí:

(

)

a bx

a bx

+

= +

, kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla.

Geometrický priemer: má zmysel len, ak sú všetky hodnoty kladné. Je analógiou
aritmetického priemeru, lebo jeho logaritmus je aritmetickým priemerom logaritmov.
Geometrický priemer nie je invariantný voči lineárnej transformácii. Používa sa v prípadoch,
kde ide o násobenie. Najčastejšie vo finančníctve: úrokovanie, inflácia a pod.

1

2

n

G

n

x

x x

x

=

⋅ ⋅ ⋅

⋯

Harmonický priemer: má zmysel len, ak sú všetky hodnoty kladné. Tiež nie je invariantný
voči lineárnej transformácii. Je definovaný vzťahom:

−

=





= 







∑

1

1

1

1

n

H

i

i

x

n

x

.

Ak sú všetky hodnoty znaku kladné, tak platia nasledujúce nerovnosti:

≤

≤

H

G

x

x

x .

Medián: (výberový medián) Je definovaný pomocou usporiadaného súboru hodnôt x(1) ≤ x(2) ≤
... ≤ x(n-1) ≤ x(n) nasledujúcim vzťahom:

(

)

+

+





= 

⋅

+



ɶ

1

2

2

2

(

)

1
2

( )

(

1)

pre nepárne

pre párne

n

n

n

x

n

x

x

x

n

Medián je hodnota, ktorá nám rozdelí usporiadané hodnoty na rovnaké súbory, čo do počtu
hodnôt. Z toho vyplýva, že nezáleží na konkrétnych hodnotách na začiatku a konci súboru
hodnôt, len kde sa v tomto usporiadaní nachádzajú. Pre medián platí rovnaká vlastnosť, ako
pre priemer:

(

)

a bx

a bx

+

= + ɶ , kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla.

Takto definovaný medián má pre zmysel už pre ordinálne kritérium, ak n je nepárne. Ak n je
párne, tak potrebujeme aspoň intervalové kritérium. Ak by sme pre párne n definovali medián
ako akúkoľvek hodnotu spĺňajúcu nerovnosť:

+

≤ ≤

ɶ

2

2

( )

(

1)

n

n

x

x

x

,

tak by sme stratili jednoznačnosť v definícii, ale mohli by sme ju použiť aj pre ordinálne
kritérium.
Zovšeobecnený medián je takzvaný p-tý kvantil (percentil), ktorý neoddeľuje polovicu
najmenších hodnôt od ostatných, ale oddeľuje p-ty diel hodnôt. Nech 0

< p < 1, potom

definujeme (výberový) p-ty kvantil (percentil) vzťahom:

[ ]

[ ]

(

)

[ ]

+

+



≠



= 

⋅

+

=



(

1)

1

(

)

(

1)

2

pre

pre

np

p

np

np

x

np

np

x

x

x

np

np

Ak np nie je celé číslo, tak z usporiadaného súboru hodnôt sa vyberie hodnota s najbližším
väčším indexom. Ak np je celé číslo, tak sa použije priemer z daných dvoch hodnôt (v prípade
ordinálneho kritéria sa vezme ľubovoľná hodnota medzi nimi). Z definície percentilu
dostávame, že platí:

=

ɶ

0,5

x

x

.

Pri grafických znázorneniach sa často používa horný a dolný kvartil:

=

=

1

0,25

3

0,75

a

Q

x

Q

x

.

Ak máme k dispozícii len tabuľku početností hodnôt daného znaku, tak na výpočet mediánu
využijeme nasledujúci vzťah:

+

−

−

= + ⋅

ɶ

1

1

2

n

i

e

i

N

x

a

h

n

,

kde ae je dolná hranica intervalu triedy v ktorej sa nachádza medián, h je dĺžka intervalu
triedy, n je rozsah súboru, ni je početnosť triedy , v ktorej sa nachádza medián a Ni-1 je
kumulatívna početnosť triedy, ktorá predchádza triedu obsahujúcu medián.

Modus: Je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v súbore hodnôt. Má zmysel hlavne
v prípadoch, v ktorých je počet m skutočne sa vyskytujúcich rôznych hodnôt podstatne menší,
ako je rozsah štatistického súboru n. Modus nemusí byť určený jednoznačne, ale môžeme ho
použiť pri všetkých kritériách (pri nominálnom kritériu sa nedá hovoriť o charakteristike
polohy).
Ak máme k dispozícii len tabuľku početností hodnôt daného znaku, tak na výpočet mediánu
využijeme nasledujúci vzťah:

= + ⋅

+

⌢

1

1

2

o

d

x

a

h

d

d

,

kde ao je dolná hranica intervalu, v ktorom sa nachádza modus, h je dĺžka triedneho intervalu,
n je rozsah súboru, d1 = ni – ni–1 (i je trieda do ktorej patrí modus) a d1 = ni+1 – ni (i je trieda do
ktorej patrí modus).


Charakteristiky variability štatistického súboru: (Miery variability)

Miery variability charakterizujú veľkosť variability hodnôt okolo nejakej ich miery polohy
alebo veľkosť ich vzájomnej rozdielnosti. Základnou požiadavkou by mala byť invariantnosť
voči posunutiu, lebo pripočítaním rovnakej konštanty ku všetkým hodnotám sa variabilita
nesmie zmeniť.

Rozptyl: (výberový rozptyl) je definovaný vzťahom:

=

=

=

−

=

−

=

∑

∑

2

2

2

2

2

1

1

1

1

(

)

n

n

i

i

x

i

i

s

x

x

x

x

s

n

n

.

Niekedy sa namiesto výrazu (1/n) používa výraz (1/(n – 1)), ale to popíšeme až neskôr pri
výberovom rozptyle. Ak je štatistický súbor popísaný len tabuľkou početnosti, tak rozptyl
vypočítame podľa vzťahu:

=

=

⋅

−

∑

2

2

1

1

(

)

m

i

i

i

s

n

a

x

n

,

tento vzťah sa ešte zvykne upraviť tak, že sa odčíta od daného výrazu hodnota h

2/12, kde h je

dĺžka triednych rovnako širokých intervalov (takzvaná Scheppardova korekcia).

Smerodajná odchýlka: Je to odmocnina z výberového rozptylu a označíme ju s alebo sx, ak
chceme zdôrazniť, ku ktorej premennej prislúcha. Smerodajná odchýlka rovnako ako aj
rozptyl a priemer závisí na všetkých pozorovaniach.

Rozpätie: je to rozdiel maximálnej a minimálnej hodnoty. Rozpätie je závislé len od
najmenšej a najväčšej hodnoty súboru.

R = x(n) – x(1)

Kvartilové rozpätie: je definované ako rozdiel dvoch kvartilov:

RQ = Q3 – Q1.

Hodnota RQ/2 sa tiež nazýva kvartilová odchýlka.

Priemerná odchýlka: je to priemerná vzdialenosť jednotlivých hodnôt xi na reálnej osi od
mediánu (niekedy od priemeru):

=

=

−

∑

ɶ

1

1

n

i

i

d

x

x

n

.

Všetky uvedené miery variability predpokladajú aspoň intervalové kritérium.

Veta: Funkcia

=

=

−

∑

2

1

1

( )

(

)

n

i

i

S t

x

t

n

nadobúda svoju minimálnu hodnotu v bode

=

t

x

.

Veta: Funkcia

=

=

−

∑

1

1

( )

n

i

i

T t

x

t

n

nadobúda svoju minimálnu hodnotu v bode

= ɶ

t

x

.

Charakteristiky šikmosti a ostrosti štatistického súboru: (Miery šikmosti a ostrosti)

Výberový koeficient šikmosti: tento koeficient je definovaný vzťahom:

3

1

3

1

)

(

1

s

x

x

n

n

i

i

∑

=

−

=

γ

.

Ľahko vidieť súvislosť s momentovými charakteristikami, ktoré sme uviedli v teórii
pravdepodobnosti pri popise charakteristík náhodnej veličiny. Stačí zaviesť náhodnú veličinu
X tak, že každej hodnote xi pridelíme rovnakú pravdepodobnosť 1/n (prípadne každej hodnote
aj pravdepodobnosť nj/n). Potom stredná hodnota EX je totožná s aritmetickým priemerom
a rozptyl varX je totožný s rozptylom s

2 a dostaneme, že koeficient šikmosti náhodnej veličiny

X je ekvivalentný s naším vzorcom.

Kvantilový koeficient šikmosti: Nech 0

< p < 0,5. Potom kvantilový koeficient šikmosti je

definovaný vzťahom:

p

p

p

p

x

x

x

x

x

x

−

−

−

−

−

−

1

1

)

~

(

)

~

(

.

Špeciálne ak položíme p = 0,25, tak dostaneme kvartilový koeficient šikmosti:

1

3

1

3

)

~

(

)

~

(

Q

Q

Q

x

x

Q

−

−

−

−

.

Výberový koeficient ostrosti: je definovaný vzťahom:

3

)

(

1

4

1

4

2

−

−

= ∑ =

s

x

x

n

n

i

i

γ

.

Kvantilový koeficient ostrosti: je definovaný pre 0

< p < 0,5 vzťahom:

p

p

n

x

x

x

x

−

−

−

1

)

1

(

)

(

.

Grafy (diagramy): Ukážeme základné typy diagramov a grafov.

(1) Polygón resp. polygón početností:

Prehľad tržieb za rok 2005

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

M

a

re

c

A

u

g

u

s

t

S

e

p

te

m

b

e

r

N

o

v

e

m

b

e

r

D

e

c

e

m

b

e

r

Mesiace

T

rž

b

a

v

S

k

Výška študentov gymnázia v

1. ročník

0

10

20

30

40

50

60

70

150

160

170

180

190

200

Výška

P

o

če

t

š

tu

d

e

n

to

v

Chlapci

Dievčatá

Počet študentov

(2) Histogram:

Prehľad tržieb za rok 2005

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

M

a

re

c

A

u

g

u

s

t

S

e

p

te

m

b

e

r

N

o

v

e

m

b

e

r

D

e

c

e

m

b

e

r

Mesiace

T

rž

b

a

v

S

k

Výška študentov gymnázia

1. ročník

0

10

20

30

40

50

60

70

150

160

170

180

190

200

Výška

P

o

če

t

š

tu

d

e

n

to

v

Chlapci

Dievčatá

Počet študentov

Výška študentov gymnázia

1. ročník

0

10

20

30

40

50

60

150

160

170

180

190

200

Výška

P

o

č

e

t

š

tu

d

e

n

to

v

Chlapci

Dievčatá

(3) Kruhový (koláčový):

Podiel mesačných tržieb

v roku 2005

4%

4%

2%

5%

11%

15%

15%

21%

10%

7%

3% 3%

Január

Február

Marec

Apríl

Máj

Jún

Júl

August

September

Október

November

December

(4) Prstencový (pre viacero radov):

Podiel tržieb automobiliek v rokoch 2003

- 2005

17%

52%

22%

49%

30%

46%

31%

29%

24%

Škoda

Audi

Volkswagen

Podiel tržieb automobiliek v rokoch 2003

- 2005

17%

31%

52%

22%

29%

49%

30%

24%

46%

2003

2004

2005