príklady z cvičení

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 1 -

ČASOVÁ HODNOTA PEŇAZÍ

Podnikateľské subjekty investujú do celého radu aktív - hmotných, nehmotných, finančných.

Vždy, keď firma vynakladá peniaze, dúfa, že v budúcnosti obdrží viac než do investícií pôvodne vložila.
Investovať môžu samozrejme i fyzické osoby. Všetky tieto finančné rozhodnutia investičného
charakteru vyžadujú porovnanie platieb v hotovosti, ktoré sa uskutočňujú v rôznych časových
okamžikoch.

Časová hodnota peňazí = vyjadruje ekonomickú zásadu, že peniaze, ktoré obdržíme

(zaplatíme) v rôznych časových okamžikoch, sú odlišné komodity a nemôžu byť preto od seba
odpočítavané (či k sebe pripočítavané) v takej podobe, v akej ich v rôznych časových okamžikoch
(intervaloch) zistíme.

Podstata časovej hodnoty peňazí spočíva v tom, že peňažné prostriedky, ktoré má podnik k

dispozícii okamžite, nie sú ekvivalentné s tými istými peňažnými prostriedkami, ktoré získa v
budúcnosti.

Pre pochopenie vzťahu medzi hodnotou peňazí obdržaných v budúcnosti je nevyhnutné zamerať

sa na nasledovné 4 okruhy problémov:
1. ako rastie investovaná čiastka pri špecifickej úrokovej miere v čase (budúca hodnota),
2. koľko by sem mali investovať "dnes", aby sme v budúcnosti obdržali určitú sumu (súčastná

hodnota),

3. v skratke objasnená budúca (súčastná) hodnota pravidelných platieb,
4. posledný okruh bude súčastná hodnota zvláštnych typov peňažných prúdov.

ÚROKOVÁ MIERA

O časovej hodnote peňazí možno hovoriť, ako o:
a) miere, ktorou sa znižujú (rastú) budúce výnosy - úroková miera
b) konkrétnom množstve peňazí - pri 10 % úrokovej miere mám dnes 1 000,- Sk, za rok 1 100,- Sk a

za 20 rokov 6 727,- Sk, čo znamená, že budúca hodnota, ktorá predstavuje množstvo peňazí, na
ktoré vzrastie pôvodná investícia, po tom čo "vyrobí úrok"

jednoduchý úrok = množstvo peňazí, ktoré obdržíme vo forme úroku výlučne z pôvodnej investície
zložený úrok = množstvo peňazí, ktoré obdržíme vo forme úroku, ale nielen z pôvodnej čiastky, ale
taktiež z úroku, získaného za predchádzajúce obdobie

BUDÚCA HODNOTA JEDNORÁZOVÉHO VKLADU

BHn = SH (1 + i)n

BHn

= budúca hodnota

SH

= súčastná hodnota

i

= úroková miera

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 2 -

n =

počet rokov, za ktoré sa úrok počíta

(1+i)n = úročiteľ (hodnoty úročiteľa sú tabelarizované)

použitie: u prepočtov, ktoré zachytávajú rast vkladu o rovnaké % - napr. budúca hodnota vkladu na
BÚ, budúca hodnota investičných vkladov

PRÍKLAD 1.1:

Podnik uložil 1.1. 2002 čiastku 2 mil. Sk na bankový účet. Prostriedky na bankovom účte sa úročia
úrokovou sadzbou 0,04.
Úlohy:
1. stanovte výšku úroku a celkovú výšku vkladu na tomto účte pri jednoduchom úrokovaní koncom

4.roku

2. stanovte výšku úroku a celkovú výšku vkladu na tomto účte koncom 4.roku pri zloženom

úrokovaní

RIEŠENIE 1.1
ad 1. Jednoduchý úrok:

ročný 80 000,- Sk

koncom

4.roku

320

000,-Sk

ad 2. Zložený úrok:

BHn = SH (1 + 0,04)4 = 2 339 800,- Sk

budúca hodnota vrátane úroku…………2 339 800,- Sk

zložený úrok koncom 4.roku…………….339 800,- Sk

Častejšie úrokovanie: pokiaľ sa úrokovanie prevádza častejšie než 1 x ročne, vo vzorci pre BHn je
nutné previesť 2 úpravy:
- úroková miera (i) sa delí počtom období (m), za ktorú behom roka úrokujeme => (1+i/m)
- upravený výraz (1+i/m) umocníme na m.n

BHn = SH (1 + i/m) m.n

čím je kratšie úrokované obdobie, tým je budúca hodnota vyššia

PRÍKLAD 1.2

Stanovte, aký je úrokový výnos (predpokladáme zložené úrokovanie) z vkladu 1 000,- Sk na konci
2.roku, keď úročenie prebieha:
1. 1 x ročne a úroková sadzba je 8 %
2. štvrťročne a úroková sadzba je 8 %

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 3 -

RIEŠENIE 1.2
ad 1. Úročenie 1x ročne:

BH2 = SH (1 + 0,8) 2 = 1 166,40 => úrokový výnos = 166,40 Sk

ad 2. Úročenie štvrťročne: BH2 = SH (1 + 0,08/4) 4.2 = 1 171,70 => úrokový výnos = 171,70 Sk

SÚČASTNÁ HODNOTA JEDNORÁZOVÉHO VKLADU

Súčastná hodnota jednorázového vkladu je rovná dnešnej hodnote budúceho CF.

SH = BHn . 1/(1 + i)n

BHn

= budúca hodnota

SH

= súčastná hodnota

i

= úroková miera

n =

počet rokov, za ktoré sa úrok počíta

1/(1+i) = odúročiteľ (hodnoty odúročiteľa sú taberalizované)

Súčastná hodnota sa tiež nazýva diskontovaná hodnota a diskontovanie je proces prepočítavania
budúcich peňažných tokov (CF) a súčastnú hodnotu CF.
Použitie: tam, kde sa budúci výnos (príjem) prevádza na súčastnú hodnotu,
napr. stanovenie súčastnej hodnoty budúcich výnosov z investícií, stanovenie ceny majetku z
očakávaných príjmov.

PRÍKLAD 1.3

Vklad na bankovom účte podniku vzrástol pri úrokovej sadzbe 0,03 z 200 000,- Sk na 230 000,- Sk
úlohy:
1. stanovte, ako dlho bol vklad úročený pri jednoduchom úrokovaní.
2. stanovte, ako dlho bol vklad úročený pri zloženom úrokovaní.

RIEŠENIE 1.3
ad 1. jednoduchý úrok:

úrok = 30 000,- Sk

n = 30 000/(200 000 . 0,03) = …. 5 rokov

ad 2. Zložené úrokovanie:

SH = BHn . 1/(1 + i)n

200 000 = 230 000 . 1/(1 + 0,03)n = 200 000/230 000 = 1/(1 + 0,03)n =

= 0,869 = 1/(1 + 0,03)n a v tabuľke 1 hľadáme hodnoty a pre

úrokovú mieru 3 % a odúročiteľa 0,869 = cca 4,5 roka

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 4 -

výnosové kritérium(D)

rok(N)

1%

2%

3%

4%

5% …………… 30%

1.

0,9901 ,9804 ,9709 ,9615 ,9524

2.

,9803 ,9612 ,9426 ,9246 ,9070

3.

,9706 ,9423 ,9151 ,8890 ,8638

4. ,9610

,9238

,8885 ,8548 ,8227

5. ,9515

,9057

,8626 ,8219 ,7835

…..

100

Tab. 1: Dnešná hodnota (present value) 1 Sk = 1/(1+D% /100)N

ZOHĽADNENIE FAKTORA ČASU V PRÍPADE PRAVIDELNE SA OPAKUJÚCICH PLATIEB

ROVNAKEJ VEĽKOSTI

Pre finančnú prax, najčastejšie vo sfére poisťovníctva a sporiteľní sú typické peňažné platby,

ktoré po určitú dobu prebiehajú v pravidelných časových intervaloch, ich výška zostáva v čase rovnaká
alebo sa mení podľa určitej schémy. V tomto prípade sa z finančného hľadiska hovorí o anuite.

Pre stanovenie súčastnej/budúcej hodnoty pravidelných platieb sa vychádza z jednoduchých

vzorcov, ktoré sa potom používajú pri najrôznejších finančných rozhodovaniach týkajúcich sa série
rovnakých platieb.

Budúca hodnota anuity

BHA = A . {((1+i)n - 1) / i}

BHA = budúca hodnota anuity
A

= anuita = séria pravidelných platieb v rovnakej výške za určité obdobie

i

= úroková miera

n =

počet rokov za ktoré sa anuita počíta

(1+i)n - 1/i

……….. sporiteľ

použitie: stanovenie konečnej hodnoty vkladov vrátane úrokov za určité obdobie,
napr. stanovenie hodnoty tvorby rezervného fondu, konečná hodnota pravidelných úspor

PRÍKLAD 1.4

Podľa plánu tvorby a rozdelenia zisku a odpisov zostáva v podniku v jednotlivých rokoch 0,8 mil. Sk
zisku a 2 mil. SK odpisov k financovaniu investícií. Tieto zdroje ukladá podnik na bežný účet v banke a
sú úročené sadzbou 4%.

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 5 -

úlohy:
Stanovte, akú čiastku (vrátane úrokov) bude mať podnik na bežnom účte pre financovanie investícií
koncom päťročného obdobia, ukladá tieto zdroje na účet pravidelne vždy koncom roka celých 5 rokov.
Koľko budú činiť úroky?

RIEŠENIE 1.4

BHA = A . {((1+i)n - 1) / i} = (0,08 + 2) . {((1+0,04)5 - 1) / 0,04 }= 15 169 000,- Sk

Celková čiastka pre financovanie investícií koncom päťročného obdobia činí 15 169 000,- Sk
Úroky: 15 169 000 - (2 800 000 - 5) = 1 169 000,- Sk

ANUITA Z BUDÚCEJ HODNOTY

A = BHA. { i / ((1+i)n - 1) }

BHA = budúca hodnota anuity
A

= anuita = séria pravidelných platieb v rovnakej výške za určité obdobie

i

= úroková miera

n =

počet rokov za ktoré sa anuita počíta

i / ((1+i)n - 1) ……….. fondovateľ

použitie: stanovenie súčastnej hodnoty pravidelných vkladov koncom každého obdobia zaisťujúci
požadovanú konečnú hodnotu,
napr. pravidelná platba koncom roka do rezervného fondu tak, aby za určitú dobu tento fond dosiahol
určitú výšku, stanovenie výšky pravidelne ukladaných čiastok koncom roka na bežný účet k
dosiahnutiu žiadanej budúcej hodnoty

PRÍKLAD 1.5

Rozhodli ste sa, že si nový automobil nekúpite dnes, ale až za 5 rokov, keď značka, ktorú si chcete
kúpiť má podľa predpovede odborníkov stáť už len 250 000,- Sk.
úloha:
Akú veľkú čiastku musíte na konci každého roka dať na sporenie, aby ste koncom 5.roku mali k
dispozícii 250 000,- Sk. Úspory sú úročené 16 %.


RIEŠENIE 1.5
A = BHA. { i / ((1+i)n - 1) } = 250 000 . { 0,16 / ((1+0,16)5 - 1) } = 36 350,- Sk

Požadovaná čiastka na sporenie činí 36 350,- Sk.

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 6 -

KAPITÁLOVÁ OBNOVA

K = U. { i(1+i)n / ((1+i)n - 1) }

K =

ročná splátka úveru a úroku

U

= poskytnutý úver

i

= úroková miera

n =

počet rokov, za ktoré sa anuita počíta

{ i(1+i)n / ((1+i)n - 1) } ……. Umorovateľ

použitie: splácanie (umorovanie) pravidelných splátok úveru a úrokových platieb

PRÍKLAD 1.6

Tvorba vlastných finančných zdrojov nestačí k financovaniu zamýšľaného objemu investícií, preto
podnik žiada banku o úver vo výške 3 mil. Sk. úver má byť splatený do 6 rokoch a úročený ročnou
sadzbou 6 %.
úloha:
Stanovte výšku splátok vrátane úroku, ktoré musí podnik pravidelne ku koncu roka v rovnakých
čiastkach splácať, keď má byť úver vrátane úrokov splatený v stanovenej lehote. Stanovte výšku
úrokov z tohoto úveru.

RIEŠENIE 1.7
K = U. { i(1+i)n / ((1+i)n - 1) } = 3 000 000 . { 0,06(1+0,06)6 / ((1+0,06)6 - 1) } = 610 080,- Sk
Výška ročných splátok pravidelne koncom roku je 610 080,- Sk.

SÚČASTNÁ HODNOTA ANUITY

U = K . { ((1+i)n - 1) / i(1+i)n }

K =

ročná splátka úveru a úroku

U

= poskytnutý úver

i

= úroková miera

n =

počet rokov, za ktoré sa anuita počíta

{ ((1+i)n - 1) / i(1+i)n } ……. zásobiteľ

použitie: výpočet hodnoty pravidelných veličín behom danej doby, napr.
výpočet súčastnej hodnoty pravidelných peňažných príspevkov, výpočet hodnoty pravidelných
budúcich výnosov

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 7 -

PRÍKLAD 1.8

Podnik sa zaviazal, že bude 5 rokov pravidelne koncom roka prispievať škole čiastkou 100 000,- Sk.
Úrokový výnos zo strednodobých investícií činí v priemere 5 % ročne.
úloha:
Aká je súčastná hodnota príspevku?

RIEŠENIE 1.8
U = 100 000 . { ((1+0,05)5 - 1) / 0,05(1+0,05)5 } = 100 000 . 4,329703 = 432 970,30 Sk
Súčastná hodnota pravidelných príspevkov škole činí celkom 432 970,30 korún slovenských.

SÚČASTNÁ HODNOTA ZVLÁŠTNYCH TYPOV PEŇAŽNÝCH PRÚDOV.

Perpetuita = neobmedzená anuita. Ide o rovnaké peňažné príjmy po nekonečnú dobu; o

nekonečnú sériu pravidelných platieb v rovnakej výške.
Rôzne

peňažné prúdy (peňažné príjmy a výdaje) sa objavujú často vo finančných prepočtoch

efektívnosti investícií. Súčastná hodnota týchto peňažných prúdov sa preto musí stanoviť ako súčet
rôznych jednotlivých súčastných hodnôt.

Súčastná hodnota perpetuity

P = An/i

An

= výška ročnej perpetuity

P =

súčastná hodnota perpetuity

i

= úroková miera

požitie: stanovenie ceny nesplatených obligácií, stanovenie ceny akcií

PRÍKLAD 1.9

Ročná dividenda preferenčnej akcie je 200,- Sk. Investori vyžadujú mieru návratnosti 10 %. Aká je
hodnota preferenčnej akcie?

RIEŠENIE 1.9
P = 200/0,10 = 2 000,- Sk

Väčšinou sa dividendy vyplácajú 1/4 ročne. V tom prípade by bol výpočet nasledujúci:
P = 50/0,025 = 2 000,- Sk

Súčastná hodnota rôznych peňažných prúdov

Súčastná hodnota rôznych peňažných prúdov je rovná súčtu rôznych peňažných prúdov súčastných
hodnôt.

SH0 = P1/(1+i) + P2/(1+i)2 + ….. Pn/(1+i)n

5. a 12.10. 2005 Náplň seminárov a riešené príklady z predmetu FINANČNÁ A EKONOMICKÁ ANALÝZA

Vypracoval: Rohlová

- 8 -

SH0 =

súčastná hodnota rôznych peňažných prúdov

Pt =

peňažné prúdy v jednotlivých rokoch

t

= jednotlivé roky

n =

počet rokov

i

= úroková miera

PRÍKLAD 1.10

Podnik sa rozhoduje, či bude peniaze investovať do nového zariadenia, ktoré umožní zvýšiť ponuku
ich výrobkov. Zariadenie má 5-ročnú životnosť a predpokladaný prud peňažných príjmov je
v jednotlivých rokoch nasledujúci:

Koniec roku Peňažný prúd

1. 50

000,-

2. 150

000,-

3.

- 20 000,-

4. 200

000,-

5. 150

000,-

(Požadovaná miera výnosnosti = 10 %)

RIEŠENIE 1.10
SH0 =
50 000/(1+0,1) + 150 000/(1+0,1)2 - 20 000/(1+0,1)3 + 2000 000/(1+0,1)4 + 150 000/(1+0,1)5=
= 384 080,- Sk
Zrovnávaním sučastné hodnoty rôznych peňažných prúdov s pôvodným kapitálovým výdajom na
investíciu podnik zistí, či investície sú pre neho výhodné alebo nie.

NERIEŠENÉ PRÍKLADY

1.11 Vklad 10 000,- Sk uložený začiatkom určitého roka v banke sa zvýšil za 10 rokov o 2 000,- Sk,

t.j. na 12 000,- Sk. Stanovte: použitú úrokovú sadzbu pri jednoduchom úrokovaní, a požitú
úrokovú sadzbu pri zloženom úrokovaní.

1.12 Investor obdrží od „dnes“ za 3 roky 100 000,- Sk a zároveň očakáva, že jeho investícia mu

vynesie 8 %. Aká je súčastná hodnota jeho budúceho CF?

1.13 Podnik dosiahne v dôsledku technologických zmien ročnú úsporu elektrickej energie v čiastke
50 000,- Sk. Tieto úspory priebežne reinvestuje pri rentabilite 12 % p.a. Koľko bude činiť

výnos z týchto úspor za 5 rokov?

1.14 Podnik vypláca držiteľom prioritných akcií každý rok 250,- Sk za 1 akciu. Úroková miera

dlhodobých depozít činí 10 %. Aká je súčastná hodnota tejto akcie?