MAT2_20170427 Aplikácie dvojného integrálu, vektorová funkcia

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Matematiky 2 sa venuje aplikáciám dvojného integrálu. Najprv sa ukazuje výpočet plošného obsahu množiny G pomocou dvojného integrálu z konštantnej funkcie 1, na príklade lemniskáty (x²+y²)² = 2a²(x²-y²) pomocou polárnej transformácie x = r cos φ, y = r sin φ s Jakobiánom r; hranice pre uhol φ sú 0 až π/4 a pre polomer r ≤ a√(2cos2φ), výsledný obsah lemniskáty vychádza 2a². Druhá aplikácia je objem valcovitého telesa ohraničeného zhora grafom nezápornej funkcie z = f(x,y) nad normálnou množinou G, ilustrovaný príkladom objemu telesa nad štvrťkruhom x²+y²≤25 v prvom kvadrante pod funkciou z = √(x²+y²), opäť riešeným prevodom na polárne súradnice.

• - Plošný obsah množiny G ako dvojný integrál z konštantnej funkcie 1
• - Príklad: lemniskáta (x²+y²)² = 2a²(x²-y²), riešenie cez polárnu transformáciu s Jakobiánom r
• - Hranice pre lemniskátu: φ ∈ (0, π/4), r ≤ a√(2cos2φ), výsledný obsah = 2a²
• - Objem valcovitého telesa ako dvojný integrál z funkcie z = f(x,y) nad množinou G
• - Príklad: objem telesa nad štvrťkruhom x²+y²≤25 pod funkciou z = √(x²+y²)
• - Prevod na polárne súradnice a určenie hraníc uhla φ v jednotlivých kvadrantoch

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.