MAT2_20170518 Potenciálová funkcia a Greenova veta

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Matematiky 2 nadväzuje na definíciu potenciálovej funkcie u(x,y), pre ktorú platí, že vektorové pole F je jej gradientom. Vysvetľuje sa nutná podmienka existencie potenciálovej funkcie (veta 3.10): parciálna derivácia prvej zložky F podľa y sa musí rovnať parciálnej derivácii druhej zložky podľa x. Zavádzajú sa pojmy oblasť a jednoducho súvislá oblasť (množina, kde vnútro každej uzavretej krivky leží v množine), na príklade kruhu s vylúčeným stredom sa ukazuje množina, ktorá nie je jednoducho súvislá. Veta 3.11 hovorí, že na jednoducho súvislej oblasti so spojitými parciálnymi deriváciami sa nutná podmienka stáva aj postačujúcou. Na záver sa začína riešiť príklad 3.12 – hľadanie potenciálovej funkcie vektorového poľa f(x,y) = (1/(x²+y))·i + (x−y²)eʸ·j na množine x<0, vrátane overenia rovnosti zmiešaných derivácií a začiatku integrovania prvej zložky podľa x.

• - Definícia potenciálovej funkcie u(x,y): vektorové pole F sa rovná gradientu u
• - Nutná podmienka (veta 3.10): parciálna derivácia F1 podľa y sa rovná parciálnej derivácii F2 podľa x na množine G
• - Pojem oblasti a jednoducho súvislej oblasti (vnútro každej uzavretej krivky leží v G)
• - Príklad množiny, ktorá nie je jednoducho súvislá (kruh s vylúčeným stredom)
• - Veta 3.11: na jednoducho súvislej oblasti so spojitými parciálnymi deriváciami je podmienka aj postačujúca
• - Riešenie príkladu 3.12: hľadanie potenciálovej funkcie f(x,y) = (1/(x²+y))i + (x−y²)eʸj na množine x<0

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.