TAR2_20120321 01 Diskrétny Kalmanov filter

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje rovnice diskrétneho Kalmanovho filtra pre lineárny diskrétny systém zaťažený procesným a meracím šumom. Vychádza sa z predpokladu tvaru pozorovača s neznámym zosilnením L, ktoré sa má určiť tak, aby chyba odhadu stavu mala nulovú strednú hodnotu a minimálny rozptyl. Odvodzuje sa dynamika chyby odhadu medzi krokmi k a k+1 a ukazuje sa, že jej stredná hodnota je nulová pri nulovej počiatočnej chybe. Ako účelová funkcia sa zavádza stopa (trace) kovariančnej matice chyby odhadu, ktorú je potrebné minimalizovať voľbou matice zosilnenia L(k). Následne sa postupným dosadzovaním a využitím nekorelovanosti šumov odvodzuje rekurentný vzťah pre kovariančnú maticu chyby pozorovača P(k+1) v závislosti od P(k), matíc A, C, L a kovariančných matíc šumov Q a R.

• - Model procesu: diferenčná rovnica x(k+1)=A x(k)+šum s kovariančnou maticou Q, meranie y(k)=C x(k)+šum s kovariančnou maticou R.
• - Počiatočný stav x0 je neznámy, modelovaný ako náhodná veličina s odhadom x0̄ a kovariančnou maticou P0.
• - Predpokladaný tvar pozorovača: x̂(k+1|k)=A x̂(k|k-1)+L(k)[y(k)-C x̂(k|k-1)].
• - Odvodenie dynamiky chyby odhadu e(k+1)=(A-L(k)C) e(k)+ Q-šum - L(k)·R-šum, so strednou hodnotou rovnou nule pre všetky k.
• - Zavedenie účelovej funkcie ako stopy (trace) kovariančnej matice chyby odhadu P(k+1), ktorú treba minimalizovať voľbou L(k).
• - Vďaka nekorelovanosti procesného a meracieho šumu odpadajú krížové členy pri výpočte strednej hodnoty.
• - Výsledný rekurentný vzťah: P(k+1) = (A-L(k)C) P(k) (A-L(k)C)^T + L(k) R L(k)^T + Q, tvoriaci základ pre nájdenie optimálneho zosilnenia Kalmanovho filtra.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.