TAR2_20130228 03 Riešenie diskrétnych modelov

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje riešeniu diskrétnych stavových modelov opísaných diferenčnými rovnicami a porovnáva ich so spojitými systémami, ktoré vyžadujú numerické riešenie (napr. Runge-Kutta). Ukazuje sa, že diskrétne modely s po častiach konštantným riadením možno riešiť buď rekurzívnym dosadzovaním (analógia k Fibonacciho postupnosti), alebo pomocou Z-transformácie, čo umožňuje priamy výpočet stavu v ľubovoľnom kroku bez postupného prechádzania. Na konkrétnom príklade druhého rádu s jednotkovým skokom na vstupe sa demonštruje rekurzívny výpočet stavov a výstupu v jednotlivých krokoch, ako aj výpočet prenosovej funkcie GZ pomocou maticového vzťahu C(ZI-A)^{-1}B+D. Následne sa systém rieši priamo cez Z-transformáciu diferenčných rovníc so zohľadnením nenulových počiatočných podmienok, výsledok sa rozkladá na parciálne zlomky pre spätnú Z-transformáciu. Diskutuje sa aj stabilita systému na základe polohy pólov voči jednotkovej kružnici.

• - Diskrétne modely (diferenčné rovnice) umožňujú presný a rýchly výpočet stavu len v periódach vzorkovania, na rozdiel od numerického riešenia spojitých modelov.
• - Riešenie diskrétnych rovníc možno robiť rekurzívne (postupným dosadzovaním, analógia k Fibonacciho postupnosti) alebo pomocou Z-transformácie.
• - Zovšeobecnený vzťah pre n krokov obsahuje diskrétnu fundamentálnu maticu A^n analogickú k e^(At) v spojitom prípade.
• - Na príklade stavového systému 2. rádu s jednotkovým skokom na vstupe sa demonštruje rekurzívny výpočet x1, x2 a výstupu y v jednotlivých časových krokoch.
• - Prenosová funkcia GZ = C(ZI-A)^{-1}B+D sa počíta ako maticové cvičenie, ale nezohľadňuje nenulové počiatočné podmienky.
• - Priame riešenie cez Z-transformáciu diferenčných rovníc (s počiatočnými podmienkami) vedie k výrazu, ktorý sa rieši rozkladom na parciálne zlomky.
• - Stabilita systému sa posudzuje podľa polohy pólov prenosovej funkcie voči jednotkovej kružnici v komplexnej rovine.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.