TAR2_20130314 03 Ljapunovova stabilita

Zhrnutie prednášky

Prednáška rozširuje koncept Ljapunovovej stability zo spojitých systémov na diskrétne dynamické systémy. Najprv sa zopakujú vlastnosti Ljapunovovej funkcie zo spojitého prípadu (pozitívna definitnosť, spojitosť, záporná derivácia) a ukáže sa, že pre diskrétne systémy sa derivácia nahrádza dopredovou diferenciou. Pre lineárny autonómny diskrétny systém xk+1 = A·xk sa zvolí kvadratická funkcia V = xᵀPx a odvodí sa diskrétna Ljapunovova rovnica AᵀPA − P = −Q, kde Q je pozitívne definitná. Ak pre zvolené Q existuje pozitívne definitné riešenie P, systém je stabilný, inak nie. Na záver sa konštatuje, že diskretizácia stabilného spojitého systému (cez maticu Az = e^(ATs)) zachováva jeho stabilitu.

• - Ljapunovova funkcia musí byť pozitívne definitná, spojitá so spojitou deriváciou a s nulovou hodnotou v x=0
• - Pri diskrétnych systémoch sa derivácia nahrádza dopredovou diferenciou V(xk+1) − V(xk) ≤ 0
• - Skúma sa stabilita lineárneho diskrétneho systému bez externého zdroja xk+1 = A·xk
• - Kandidátska Ljapunovova funkcia má tvar V = xᵀPx s pozitívne definitnou maticou P
• - Odvodená diskrétna Ljapunovova rovnica: AᵀPA − P = −Q, kde Q je pozitívne definitná
• - Systém je stabilný, ak pre zvolené Q existuje pozitívne definitné riešenie P danej rovnice
• - Diskretizácia stabilného spojitého systému zachováva jeho stabilitu aj v diskrétnej podobe

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.